Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Билеты/Теорема Бэра

Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.

править

Теорема. (о вложенных шарах) Пусть   — последовательность замкнутых непустых множеств со стремящимися к нулю диаметрами в полном, метрическом пространстве  , причем   для всех  . Тогда, множество   непусто.

В частности, последовательность замкнутых вложенных шаров со стремящимися к нулю радиусами в полном метрическом пространстве имеет общую точку.

Доказательство. Возьмем  . Ввиду вложенности этих множеств и стремления их диаметров к нулю последовательность   фундаментальна. Из-за полноты пространства   она сходится к некоторой точке, которая входит во все   в силу их замкнутости и вложенности.

Теорема. (Бэр, о категории) Если   — полное метрическое пространство, причем  , где множества   замкнуты, то хотя бы одно из них содержит открытый шар некоторого положительного радиуса.

Если  , где   — произвольные множества, то хотя бы одно из   всюду плотно в некотором шаре ненулевого радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для всякого   во всяком открытом шаре   имеется открытый шар, свободный от точек  , ибо иначе   входит в  . Поэтому найдется замкнутый шар   положительного радиуса  , свободный от точек  . В шаре   найдется замкнутый шар   радиуса  , свободный от точек  . По индукции получаем вложенные замкнутые шары   со стремящимися к нулю радиусами и  . Предыдущая теорема дает общую точку всех  , не входящую в объединение  , — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям  .