Алгебра (8 класс)/Поле

Поле (Упростить)

Множество $F$ с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения $+$ и умножения $*$ ($+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F$, то есть $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$) называется полем $\left\langle F,+,*\right\rangle$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$.
2. Ассоциативность сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Существование нулевого элемента: $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$.
4. Существование противоположного элемента: $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}$.
5. Коммутативность умножения: $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$.
6. Ассоциативность умножения: $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$.
7. Существование единичного элемента: $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$.
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$.
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$.

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению $+$ над $F$; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению $*$ над $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного коммутативное кольца с единицей.