Под преобразованием понимается отображение множества на себя.
Другими словами, преобразование — это правило, в соответствии с которым каждому элементу множества ставится в соответствие элемент этого же множества.
Преобразование плоскости (пространства) называется аффинным , если существуют такие две аффинные системы координат, что координаты любой точки в первой системе координат совпадают с координатами ее образа во второй системе координат.
Аффинное преобразование можно рассматривать как последовательное применение (композицию) двух отображений:
Точке ставится в соответствие координаты относительно первой системы координат;
Полученным координатам ставится в соответствие точка относительно второй системы координат.
Пусть
f
{\displaystyle f}
— аффинное преобразование. Рассмотрим вектор
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
в первой системе координат и
f
(
A
)
f
(
B
)
→
{\displaystyle {\overrightarrow {f(A)f(B)}}}
во второй.
Так как координаты вектора определяются как разность координат конца и начала, а координаты точек
A
{\displaystyle A}
и
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
,
B
{\displaystyle B}
и
f
(
B
)
{\displaystyle f(B)}
равны в соответствующих системах координат, то вектор
f
(
A
)
f
(
B
)
→
{\displaystyle {\overrightarrow {f(A)f(B)}}}
имеет те же координаты относительно второй системы координат, что и вектор
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
относительно первой.
Таким образом в определении аффинного преобразования можно было рассматривать векторы вместо точек.
Пусть первая система координат задана своим репером
O
e
1
e
2
e
3
{\displaystyle O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}
.
Базисные векторы, отложенные от точки
O
{\displaystyle O}
определяют некоторые точки
M
i
{\displaystyle M_{i}}
.
Тогда, очевидно, вторая система координат определяется репером
O
′
e
1
′
e
2
′
e
3
′
{\displaystyle O'\mathbf {e} '_{1}\mathbf {e} '_{2}\mathbf {e} '_{3}}
, где
O
′
=
f
(
O
)
,
e
1
′
=
O
′
f
(
M
1
)
→
,
e
2
′
=
O
′
f
(
M
2
)
→
,
e
3
′
=
O
′
f
(
M
3
)
→
{\displaystyle O'=f(O),\mathbf {e} '_{1}={\overrightarrow {O'f(M_{1})}},\mathbf {e} '_{2}={\overrightarrow {O'f(M_{2})}},\mathbf {e} '_{3}={\overrightarrow {O'f(M_{3})}}}
.
Преобразование координат точки
править
Рассмотрим две аффинные системы координат, заданных своими реперами
O
e
1
e
2
e
3
{\displaystyle O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}
и
O
′
e
1
′
e
2
′
e
3
′
{\displaystyle O'\mathbf {e} '_{1}\mathbf {e} '_{2}\mathbf {e} '_{3}}
.
Пусть координаты точки
O
′
{\displaystyle O'}
и базисных векторов второго репера относительно первой системы координат выражаются следующим образом:
O
′
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
e
i
′
=
∑
k
=
1
3
a
k
i
e
k
{\displaystyle O'=(x_{0},y_{0},z_{0})\quad \mathbf {e} '_{i}=\sum _{k=1}^{3}a_{ki}\mathbf {e} _{k}}
(1)
Рассмотрим произвольную точку
M
{\displaystyle M}
.
Пусть ее координаты в первой и второй системах координат
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
и
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x',y',z')}
соответственно.
Определим как связаны между собой эти координаты.
Очевидно,
O
M
→
=
O
O
′
→
+
O
′
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}}
По определению
O
M
→
=
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=\{x,y,z\}}
в первой системе координат
O
O
′
→
=
{
x
0
,
y
0
,
z
0
}
{\displaystyle {\overrightarrow {OO'}}=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}}
в первой системе координат
O
′
M
→
=
{
x
′
,
y
′
,
z
′
}
{\displaystyle {\overrightarrow {O'M}}=\{x',y',z'\}}
во второй системе координат
Тогда
O
M
→
=
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
=
(
x
0
e
1
+
y
0
e
2
+
z
0
e
3
)
+
(
x
′
e
1
′
+
y
′
e
2
′
+
z
′
e
3
′
)
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}=(x_{0}\mathbf {e} _{1}+y_{0}\mathbf {e} _{2}+z_{0}\mathbf {e} _{3})+(x'\mathbf {e} '_{1}+y'\mathbf {e} '_{2}+z'\mathbf {e} '_{3})}
.
Подставим выражение (1), после приведения подобных получим
O
M
→
=
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
=
(
a
11
x
′
+
a
12
y
′
+
a
13
z
′
+
x
0
)
e
1
+
(
a
21
x
′
+
a
22
y
′
+
a
23
z
′
+
y
0
)
e
2
+
(
a
31
x
′
+
a
32
y
′
+
a
33
z
′
+
z
0
)
e
3
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}=(a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+x_{0})\mathbf {e} _{1}+(a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+y_{0})\mathbf {e} _{2}+(a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+z_{0})\mathbf {e} _{3}}
Поскольку вектор
O
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}
однозначно представляется как линейная комбинация базисных векторов, то коэффициенты в левой и правой частях равенства должны быть одни и те же, то есть
{
x
=
a
11
x
′
+
a
12
y
′
+
a
13
z
′
+
x
0
y
=
a
21
x
′
+
a
22
y
′
+
a
23
z
′
+
y
0
z
=
a
31
x
′
+
a
32
y
′
+
a
33
z
′
+
z
0
{\displaystyle {\begin{cases}x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+x_{0}\\y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+y_{0}\\z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+z_{0}\end{cases}}}
Можно записать эту формулу в матричном виде
(
x
y
z
)
=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
(
x
′
y
′
z
′
)
+
(
x
0
y
0
z
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}}
Аналогично можно вывести обратную формулу
(
x
′
y
′
z
′
)
=
[
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
]
(
(
x
y
z
)
−
(
x
0
y
0
z
0
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}\left({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}\right)}
Матрица
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
называется матрицей преобразования координат . Формулу (1) можно переписать в виде
O
′
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
e
i
′
=
A
T
e
k
{\displaystyle O'=(x_{0},y_{0},z_{0})\quad \mathbf {e} '_{i}=A^{T}\mathbf {e} _{k}}
(1')
Поскольку базисные векторы линейно независимы, то матрица преобразования координат должна быть невырожденной (определитель не равен нулю).
Преобразование координат вектора
править
Пусть дан вектор с координатами относительно первой системы координат
a
=
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{x,y,z\}}
.
Если приложить его к точке
O
{\displaystyle O}
этот вектор определит точку
M
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M=(x,y,z)}
.
Определим координаты преобразованного вектора относительно первой системы координат
a
′
=
f
(
a
)
=
{
x
′
,
y
′
,
z
′
}
{\displaystyle \mathbf {a} '=f(\mathbf {a} )=\{x',y',z'\}}
.
В преобразованной системе координат точки
O
{\displaystyle O}
и
M
{\displaystyle M}
имеют координаты
f
(
O
)
=
A
T
(
−
x
0
−
y
0
−
z
0
)
f
(
M
)
=
A
T
(
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
)
{\displaystyle f(O)=A^{T}{\begin{pmatrix}-x_{0}\\-y_{0}\\-z_{0}\end{pmatrix}}\quad f(M)=A^{T}{\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\\z-z_{0}\end{pmatrix}}}
Таким образом, координаты вектора
O
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}
в преобразованной системе координат
a
′
=
f
(
O
)
f
(
M
)
→
=
A
T
(
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
)
−
A
T
(
−
x
0
−
y
0
−
z
0
)
=
A
T
(
x
y
z
)
{\displaystyle \mathbf {a} '={\overrightarrow {f(O)f(M)}}=A^{T}{\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\\z-z_{0}\end{pmatrix}}-A^{T}{\begin{pmatrix}-x_{0}\\-y_{0}\\-z_{0}\end{pmatrix}}=A^{T}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}
Таким образом,
a
′
=
A
T
a
{\displaystyle \mathbf {a} '=A^{T}\mathbf {a} }
Обратное преобразование
a
=
A
a
′
{\displaystyle \mathbf {a} =A\mathbf {a} '}
Аффинное преобразование называется изометрическим , если оно сохраняет расстояния между точками.
Рассмотрим любые три точки
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
, не лежащие на одной прямой.
Пусть точки
A
′
,
B
′
,
C
′
{\displaystyle A',B',C'}
получены из них при помощи изометрического преобразования.
Так как расстояния между точками не изменилось, то
△
A
B
C
=
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle ABC=\triangle A'B'C'}
Отсюда следует, что изометрическое преобразование не меняет углы между прямыми.
Теорема
Матрица изометрического преобразования ортогональна.
Доказательство
Обозначим
f
{\displaystyle f}
— изометрическое преобразование,
A
{\displaystyle A}
— его матрица,
O
e
1
e
2
e
3
{\displaystyle O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}
— аффинная система координат, причем базисные векторы имеют единичную длину.
Базисные векторы преобразованной системы координат, очевидно, равны
e
i
′
=
A
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} '_{i}=A\mathbf {e} _{i}}
.
Поскольку изометрическое преобразование не меняет углы, то
e
i
′
⋅
e
j
′
=
e
i
⋅
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} '_{i}\cdot \mathbf {e} '_{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}
. Преобразуем
e
i
′
⋅
e
j
′
=
(
A
e
i
)
⋅
(
A
e
j
)
=
(
A
e
i
)
T
A
e
j
=
e
i
T
A
T
A
e
j
=
e
i
⋅
e
j
=
e
i
T
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} '_{i}\cdot \mathbf {e} '_{j}=(A\mathbf {e} _{i})\cdot (A\mathbf {e} _{j})=(A\mathbf {e} _{i})^{T}A\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}^{T}A^{T}A\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}^{T}\mathbf {e} _{j}}
Отсюда
A
T
A
=
E
{\displaystyle A^{T}A=E}
, то есть матрица
A
{\displaystyle A}
ортогональна.
Преобразование ортогональных систем координат
править
Преобразование на плоскости
править
Преобразование в некоторой прямоугольной системе координат, заданное формулами
x
′
=
x
+
a
,
y
′
=
−
y
{\displaystyle x'=x+a,y'=-y}
называется скользящей симметрией .
Теорема
Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией.
Доказательство
Ортогональные матрицы 2×2 имеют один из следующих видов
A
=
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
,
A
=
[
cos
φ
sin
φ
sin
φ
−
cos
φ
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},\;A={\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{bmatrix}}}
Рассмотрим изометрии первого рода.
Если
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
, то
A
=
E
{\displaystyle A=E}
, это значит, что преобразование является параллельным переносом:
(
x
′
y
′
)
=
(
x
y
)
+
(
x
0
y
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}}
Если
φ
≠
0
{\displaystyle \varphi \neq 0}
, найдем неподвижные точки, то есть такие точки
P
∗
{\displaystyle P_{*}}
, что
f
(
P
∗
)
=
P
∗
{\displaystyle f(P_{*})=P_{*}}
.
{
x
∗
=
x
∗
′
=
x
∗
cos
φ
−
y
∗
sin
φ
+
x
0
y
∗
=
y
∗
′
=
x
∗
sin
φ
+
y
∗
cos
φ
+
y
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{*}=x'_{*}=x_{*}\cos \varphi -y_{*}\sin \varphi +x_{0}\\y_{*}=y'_{*}=x_{*}\sin \varphi +y_{*}\cos \varphi +y_{0}\end{cases}}}
{
x
∗
(
cos
φ
−
1
)
−
y
∗
sin
φ
=
−
x
0
x
∗
sin
φ
+
y
∗
(
cos
φ
−
1
)
=
−
y
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{*}(\cos \varphi -1)-y_{*}\sin \varphi =-x_{0}\\x_{*}\sin \varphi +y_{*}(\cos \varphi -1)=-y_{0}\end{cases}}}
Так как
φ
≠
0
{\displaystyle \varphi \neq 0}
и
cos
φ
≠
1
{\displaystyle \cos \varphi \neq 1}
, то определитель системы
|
cos
φ
−
1
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
−
1
|
=
(
cos
φ
−
1
)
2
+
sin
2
φ
≠
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos \varphi -1&-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi -1\end{vmatrix}}=(\cos \varphi -1)^{2}+\sin ^{2}\varphi \neq 0}
Следовательно, неподвижная точка существует и единственна.
Рассмотрим новую систему координат, заданную соотношениями
P
~
=
P
−
P
∗
{\displaystyle {\tilde {P}}=P-P_{*}}
то есть сдвинем начало координат в неподвижную точку. Тогда в первоначальной системе координат
P
′
=
A
P
+
P
0
=
A
(
P
~
+
P
∗
)
+
P
0
=
A
P
~
+
A
P
∗
+
P
0
⏟
f
(
P
∗
)
=
P
∗
=
A
P
~
+
P
∗
{\displaystyle P'=AP+P_{0}=A({\tilde {P}}+P_{*})+P_{0}=A{\tilde {P}}+\underbrace {AP_{*}+P_{0}} _{f(P_{*})=P_{*}}=A{\tilde {P}}+P_{*}}
В новой системе координат преобразование будет иметь вид
P
~
′
=
P
′
−
P
∗
=
A
P
~
{\displaystyle {\tilde {P}}'=P'-P_{*}=A{\tilde {P}}}
то есть преобразование является поворотом вокруг точки
P
∗
{\displaystyle P_{*}}
.
Теперь рассмотрим изометрии второго рода.
Найдем неподвижные векторы, то есть такие векторы
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
, что
f
(
u
)
=
u
{\displaystyle f(\mathbf {u} )=\mathbf {u} }
.
{
u
x
=
u
x
′
=
u
x
cos
φ
+
u
y
sin
φ
u
y
=
u
y
′
=
u
x
sin
φ
−
u
y
cos
φ
{\displaystyle {\begin{cases}u_{x}=u'_{x}=u_{x}\cos \varphi +u_{y}\sin \varphi \\u_{y}=u'_{y}=u_{x}\sin \varphi -u_{y}\cos \varphi \end{cases}}}
{
u
x
(
cos
φ
−
1
)
+
u
y
sin
φ
=
0
u
x
sin
φ
−
u
y
(
cos
φ
+
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}u_{x}(\cos \varphi -1)+u_{y}\sin \varphi =0\\u_{x}\sin \varphi -u_{y}(\cos \varphi +1)=0\end{cases}}}
(∗)
При этом
|
cos
φ
−
1
sin
φ
sin
φ
−
cos
φ
−
1
|
=
1
−
cos
2
φ
−
sin
2
φ
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos \varphi -1&\sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi -1\end{vmatrix}}=1-\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi =0}
для любого угла
φ
{\displaystyle \varphi }
. Значит существует ненулевое решение
u
=
{
u
x
,
u
y
}
{\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{x},u_{y}\}}
.
Рассмотрим новую систему координат с тем же началом, что и исходная, и базисными векторами
e
~
1
=
1
|
u
|
{
u
x
,
u
y
}
,
e
~
2
=
1
|
u
|
{
−
u
y
,
u
x
}
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{1}={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}\{u_{x},u_{y}\},\;{\tilde {\mathbf {e} }}_{2}={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}\{-u_{y},u_{x}\}}
Очевидно, координаты точек в новой и первоначальной системах координат связаны соотношением
P
=
C
P
~
,
C
=
1
|
u
|
[
u
x
−
u
y
u
y
u
x
]
{\displaystyle P=C{\tilde {P}},C={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}{\begin{bmatrix}u_{x}&-u_{y}\\u_{y}&u_{x}\end{bmatrix}}}
В первоначальной системе координат
P
′
=
A
P
+
P
0
=
A
C
P
~
+
P
0
{\displaystyle P'=AP+P_{0}=AC{\tilde {P}}+P_{0}}
В новой системе координат
P
~
′
=
C
T
P
′
=
C
T
A
C
P
~
+
C
T
P
0
=
K
P
~
+
P
~
0
{\displaystyle {\tilde {P}}'=C^{T}P'=C^{T}AC{\tilde {P}}+C^{T}P_{0}=K{\tilde {P}}+{\tilde {P}}_{0}}
Учитывая соотношение (∗) можно вычислить
K
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle K={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
Таким образом в новой системе координат рассматриваемое преобразование имеет вид
{
x
~
′
=
x
~
+
a
y
~
′
=
−
y
~
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}{\tilde {x}}'={\tilde {x}}+a\\{\tilde {y}}'=-{\tilde {y}}+b\end{cases}}}
Сдвинем систему координат:
P
¯
=
P
~
−
(
0
b
2
)
{\displaystyle {\bar {P}}={\tilde {P}}-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}}
Тогда в системе координат с тильдой
P
~
′
=
K
P
+
(
a
b
)
=
K
(
P
¯
+
(
0
b
2
)
)
+
(
a
b
)
=
K
P
¯
+
(
a
b
2
)
{\displaystyle {\tilde {P}}'=KP+{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=K\left({\bar {P}}+{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}\right)+{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=K{\bar {P}}+{\begin{pmatrix}a\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}}
В системе координат с чертой преобразование будет иметь вид
P
¯
′
=
P
~
′
−
(
0
b
2
)
=
K
P
¯
+
(
a
0
)
{\displaystyle {\bar {P}}'={\tilde {P}}'-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}=K{\bar {P}}+{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}}
то есть преобразование является скользящей симметрией.
Преобразования в пространстве
править
Преобразования, заданные формулами
x
′
=
−
x
,
y
′
=
y
+
b
,
z
′
=
−
z
,
x
′
=
x
+
a
,
y
′
=
y
+
b
,
z
′
=
−
z
,
x
′
=
−
x
,
y
′
=
y
cos
φ
−
z
sin
φ
,
z
′
=
y
sin
φ
+
z
cos
φ
{\displaystyle x'=-x,y'=y+b,z'=-z,\quad x'=x+a,y'=y+b,z'=-z,\quad x'=-x,y'=y\cos \varphi -z\sin \varphi ,z'=y\sin \varphi +z\cos \varphi }
называются винтовым вращением , скользящей симметрией и зеркальным вращением соответственно.
Теорема
Всякая изометрия пространства является одним из следующих преобразований:
винтовое вращение
скользящая симметрия
зеркальное вращение
Доказательство
Любую ортогональную матрицу можно привести к виду
A
=
[
±
1
0
0
0
0
G
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\pm 1&{\begin{matrix}0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}&G\end{bmatrix}}}
где
G
{\displaystyle G}
— ортогональная матрица 2×2.
Далее необходимо рассмотреть несколько случаев
det
G
=
1
{\displaystyle \det G=1}
. Тогда
G
=
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
{\displaystyle G={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}}
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
Если
det
A
=
1
{\displaystyle \det A=1}
, то матрица
A
{\displaystyle A}
соответствует параллельному переносу (частный случай винтового вращения)
Если
det
A
=
−
1
{\displaystyle \det A=-1}
, то при помощи сдвига как в предыдущей теореме доказывается, что преобразование — скользящая симметрия.
Если
φ
≠
0
{\displaystyle \varphi \neq 0}
, то можно найти неподвижную точку
(
0
,
y
∗
,
z
∗
)
{\displaystyle (0,y_{*},z_{*})}
, при помощи сдвига в нее доказывается, что преобразование — винтовое или зеркальное вращение в зависимости от знака.
det
G
=
−
1
{\displaystyle \det G=-1}
Тогда можно выбрать такие орты, что
G
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle G={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
Таким образом первоначальная матрица приводится к одному из двух видов
A
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}
A
=
[
−
1
0
0
0
1
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}
Сдвинув систему координат как в предыдущей теореме, доказываем, что преобразование является либо скользящей симметрией, либо винтовым вращением.