Вещественные (действительные) числа/Теорема Коши-Кантора о стягивающихся отрезках

Определение. Последовательность вложенных отрезков называется последовательностью стягивающихся отрезков, если  : .

Теорема.

Если - последовательность стягивающихся отрезков, то ! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

, .

Множество ограничено сверху

Множество ограничено снизу

, ; ; .

Покажем, что .

Предположим, что . Тогда чего быть не может.

Предположим, что . Тогда . Положим

.

: . (*)

Значит,

Предположим, что другая точка , общая для всех отрезков: 1) ;2) ;3) . Но пункты 2), 3) невозможны, т.к. (*).