Определение. Если для подмножества : , то множество называется ограниченным сверху, а число - числом, ограничивающим сверху множество .
Множество ограниченно сверху : .
Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.
Множество не ограниченно сверху .
Определение. Если для подмножества , то множество называется ограниченным снизу, а число - числом, ограничивающим снизу множество .
Множество ограниченно снизу .
Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.
Множество не ограниченно снизу .
Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.
Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.
Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество , называется его верхней гранью и обозначается через или .
- верхняя грань множества и .
Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество , называется его нижней гранью и обозначается через или .
- нижняя грань множества и .
Пример. , где .
Теорема. ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
Доказательство. Пусть - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через множество всех чисел, ограничивающих сверху множество . Множество ограничено сверху, поэтому множество не пусто. Каждый элемент ограничивает сверху множество , т.е. . Элементы и являются произвольными элементами соответственно множеств и , поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .
Выполнение неравенства означает, что число ограничивает сверху множество , а выполнение неравенства для всех , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество , означает, что число является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества : .
-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.
Если теперь - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству все числа, ограничивающие снизу множество .
Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .
Это означает, что Теорема доказана.