Декогеренция как свертка между микро и макроскопическими наблюдаемыми

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

Авторская работа Автор: Touol Работа не имеет рецензии.

Этот раздел содержит гипотетические предположения, которые на данный момент не имеют подтверждения или не признаны научным сообществом.

Введение

После знакомства со статьями Зурека и Менского по декогеренции и квантовым измерениям, у меня появилось и продолжает появляться множество идей. В этой статье я хочу выложить хотя бы часть из них, чтобы помедитировать не на идеи болтающиеся в голове, а на уже изложенный в статью материал.

Большая часть идей, так скажем, не придумана, а нафантазирована. И, в некоторой части, они еще нуждаются в проверке на адекватность. Насколько эти идеи совместимы с реальной физикой...

Одна из первых идей связана формулой редукции Фон Неймана.

Редукция Фон Неймана

Квантовые измерения описываются Фон Нейманом в виде:

$\vert \Psi ^{i}\rangle =(\alpha \vert \uparrow \rangle +\beta \vert \downarrow \rangle )\vert d_{\downarrow }\rangle =\alpha \vert \uparrow \rangle \vert d_{\uparrow }\rangle +\beta \vert \downarrow \rangle \vert d_{\downarrow }\rangle =\vert \Psi ^{c}\rangle$

где $\vert \Psi ^{i}\rangle$ составная квантовая система. $\vert \Psi ^{s}=\alpha \vert \uparrow \rangle +\beta \vert \downarrow \rangle$ состояние частицы до измерения. $\vert d_{\downarrow }\rangle$ квантовое состояние детектора до измерения.

В результате некоторого процесса (декогеренции) состояние $\vert \Psi ^{i}\rangle$ редуцирует до состояния:

$\vert \Psi ^{c}\rangle =\alpha \vert \uparrow \rangle \vert d_{\uparrow }\rangle +\beta \vert \downarrow \rangle \vert d_{\downarrow }\rangle$. (1)

В копенгагенской интерпретации, состояние $\vert \Psi ^{s}=\alpha \vert \uparrow \rangle +\beta \vert \downarrow \rangle$ коллапсирует при измерении в состояние $\vert \Psi ^{1}=\alpha \vert \uparrow \rangle$ или в состояние $\vert \Psi ^{2}=\beta \vert \downarrow \rangle$. Частица из состояния суперпозиции коллапсирует в одно из наблюдаемых состояний.

Однако, если присмотреться к формуле (1), то можно с тем же успехом утверждать, что процессе измерения состояние детектора, выведенного частицей из равновесия, коллапсирует в состояние $\vert d_{\uparrow }\rangle$ или $\vert d_{\downarrow }\rangle$. Формуле (1) все равно, что обратиться в ноль. Как пример, в ноль может обратиться состояние частицы $\alpha \vert \uparrow \rangle$ или состояние детектора $\vert d_{\uparrow }\rangle$. Результат измерения от этого не измениться.

Таким образом, в проблеме квантовых измерений можно перевести стрелки фокус с волновой функции частицы на волновую функцию макроскопического прибора.

Во первых, макроскопический прибор не может наблюдаться в состоянии суперпозиции. Он коллапсирует до одного из базовых состояний очень быстро. Пока никто не заметил :-).

Во вторых, в макроскопической системе естественна необратимость, порождаемая ростом энтропии. Необратимость измерений вызвана макроскопическим прибором.

В третьих, макроскопическая система может эволюционировать в одно из своих базовых состояний классически случайно. Если вероятность попадания детектора в состояния $d_{\downarrow }^{2}=d_{\uparrow }^{2}={\frac {1}{2}}$, то, по формуле (1), составная система попадет в эти состояния с вероятностью $\alpha ^{2}$ и $\beta ^{2}$ соответственно. Здесь упрощено конечно, в целях показать, что причина квантовая вероятности вполне может быть классической вероятностью. Необходимо рассматривать декогеренцию и эволюцию составной системы с макроскопическим прибором совместно. Как это сделать пока неясно. Но очевидно, что вероятностную интерпретацию волновой функции вообще говоря можно как-то снять. Точнее вероятностную интерпретацию можно связать с классическими случайностями, и избавиться от квантовой, самой по себе, случайности.

Есть четвертая проблема квантовых измерений (Может есть и еще проблемы, но они на глаза мне не попадались вроде :-)). Каким образом детекторы разделенные пространственно-подобным интервалом производят согласованные измерения? Возникает впечатление, что они обмениваются сверхсветовыми сигналами. Но, однако :-(, ничего подобного не нужно. Согласованность измерений встроена в матапарат квантовой механики. Даже при вышеприведенной интерпретации КМ. Но есть интересные особенности. Рассмотрим многочастичные волновые функции.

Многочастичные волновые функции

Многочастичные квантовые системы описываются в виде произведения одночастичных волновых функций в конфигурационном пр-ве $6N$ размерности. Интересно почему именно в многомерном пр-ве, а не в трехмерном. Рассуждение ниже свое. Почему в физике так принято не нашел. Да и особо не искал. На мой взгляд проблема в том, что квантовые частицы описываются именно ВФ заданной во всем пространстве. А не как в классике какой-то траекторией. Взять просто сумму ВФ нельзя. В силу линейности ур-ния Шредингера сумма ВФ описывает сумму решений для одной частицы. Так как ур-ние Шредингера решается методом разделения переменных, многочастичные квантовые системы, естественно, описывать в виде произведения ВФ (Интересно откуда такое соображение взялось. Может, конечно, разделение переменных не причем. Но вот так вот подсознание решило :-)). Возмем 2 ВФ. Первая сосредоточена в какой-то небольшой области пр-ва. Вторая распределена по большей области пр-ва. Возьмем их произведение в 3-мерном пространстве. Получаем странный результат. Общая ВФ определена только в области определения первой ВФ. Произведение нуля на число дает в итоге ноль. Если области определения ВФ не пересекаются, то общая ВФ тождественно равна 0. Очевидно, что если брать общую ВФ в виде произведения одночастичных ВФ, то необходимо их умножать в пространстве большей размерности. (Аргументы примитивные, но зато понятные. В одном трехмерном пр-ве ловить нечего :-).)

Конфигурационное пр-во и его свертка. Проекция.

Для примера, возьмем 2 одномерные ВФ (Перестановочной симметрией пока пренебрегаем.):

$\vert \Psi (x,x')\rangle =\vert \psi _{1}(x)\rangle \vert \psi _{2}(x')\rangle$ (2)

Вероятность найти 1-вую частицу в интервале $x+\Delta x$, можно ввести по формуле:

$\int _{x}^{x+\Delta x}dx\int _{-\infty }^{\infty }dx'\langle \Psi (x,x')\vert \Psi (x,x')\rangle =\int _{x}^{x+\Delta x}dx\int _{-\infty }^{\infty }dx'\langle \psi _{1}(x)\vert \langle \psi _{2}(x')\vert \psi _{1}(x)\rangle \vert \psi _{2}(x')\rangle$. (3)

Предположим, что $\langle \psi _{2}(x')\vert$ и $\langle \psi _{1}(x)\vert$ можно поменять местами (Вообще-то нельзя, но спинами снова пренебрегаем). Тогда $\int _{-\infty }^{\infty }dx'\langle \psi _{2}(x')\vert \psi _{2}(x')\rangle =1$ в силу нормировки. Вероятность найти 1-вую частицу сводиться к стандартной формуле для одночастичной ВФ.

Введем некоторую свертку ВФ.

$\vert \Psi (x)\rangle =\vert \Psi (x=x')\rangle =\int dx'\Psi (x,x')\delta (x-x')$ (4)

Такая операция свернет ВФ $\vert \Psi (x,x')\rangle$ из двухмерного конфигурационного пр-ва в одномерное. (По другому можно сказать, что дельта-функция проектирует ВФ в подпространство $x=x'$.) При этом, важно, что свернутая (спроектированная) ВФ $\vert \Psi (x)\rangle$ не равна нулю только в пересечении областей определения волновых функций $\vert \psi _{1}(x)\rangle$ и $\vert \psi _{2}(x')\rangle$.

Аналогия декогеренции и свертки конфигурационного пр-ва

В статье Зурека, в результате декогеренции, в матрице плотности системы, находящейся в горячей ванне из осцилляторов, исчезают недиагональные состояния. Остаются только диагональные, в которых $x=x'$. Очень грубо, но можно провести аналогию между декогеренцией и, введенной выше, сверткой ВФ. В результате свертки и в результате декогеренции

$\vert \Psi (x,x')\rangle =\vert \Psi (x=x')\rangle$.

Происходит свертка переменных (наблюдаемых). В принципе, так и должно происходить. В результате измерения координаты частицы, её координата ставиться в соответствие координате детектора частиц и состоянию детектора (положению стрелки прибора). К сожалению, операция свертки введенная выше, как стало очевидно при написании статьи, не корректна. Её нельзя вводить для ВФ. Необходимо плясать либо от определения вероятности многочастичной ВФ, либо от матрицы плотности.

Литература

• М.Б. Менский. Явление декогеренции и теория непрерывных квантовых измерений
• В. Зурек. ДЕКОГЕРЕНЦИЯ И ПЕРЕХОД ОТ КВАНТОВОГО МИРА К КЛАССИЧЕСКОМУ