Евклидовы и унитарные пространства

Определения

Определение. E - евклидово пространство ${\overset {def}{\Leftrightarrow }}$

• Е - конечномерное линейное пространство над полем $R^{1}$.
• $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in E\Rightarrow ({\vec {x}},{\vec {y}})\in R^{1}:$

• $({\vec {x}},{\vec {y}})=({\vec {y}},{\vec {x}})$
• $\forall \lambda \in R^{1},\forall {\vec {x}},{\vec {y}}:(\lambda {\vec {x}},{\vec {y}})=\lambda ({\vec {x}},{\vec {y}})$
• $({\vec {x}}+{\vec {y}},{\vec {z}})=({\vec {x}},{\vec {z}})+({\vec {y}},{\vec {z}})$
• $\forall {\vec {x}}\not =0:({\vec {x}},{\vec {x}})>0$

Определение. U - унитарное пространство ${\overset {def}{\Leftrightarrow }}$

• U - конечномерное линейное пространство над полем $C^{1}$.
• $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in U\Rightarrow ({\vec {x}},{\vec {y}})\in C^{1}:$

• $({\vec {x}},{\vec {y}})={\overline {({\vec {y}},{\vec {x}})}}$
• $\forall \lambda \in C^{1},\forall {\vec {x}},{\vec {y}}:(\lambda {\vec {x}},{\vec {y}})=\lambda ({\vec {x}},{\vec {y}})$
• $({\vec {x}}+{\vec {y}},{\vec {z}})=({\vec {x}},{\vec {z}})+({\vec {y}},{\vec {z}})$
• $\forall {\vec {x}}\not =0:({\vec {x}},{\vec {x}})>0$

Утверждение. $({\vec {x}},\lambda {\vec {y}})={\overline {\lambda }}({\vec {x}},{\vec {y}})$

Неравенство треугольника.

• Е - евклидово пространство.

Утверждение. $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in E\Rightarrow ||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leqslant ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$

Доказательство. $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||^{2}=({\vec {x}}+{\vec {y}},{\vec {x}}+{\vec {y}})=({\vec {x}},{\vec {x}})+({\vec {y}},{\vec {y}})+2({\vec {x}},{\vec {y}})\leqslant ||{\vec {x}}||^{2}+2||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||+||{\vec {y}}||^{2}=(||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||)^{2}.$

• U - унитарное пространство.

Утверждение. $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in U\Rightarrow ||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leqslant ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$

Доказательство. $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||^{2}=({\vec {x}}+{\vec {y}},{\vec {x}}+{\vec {y}})=({\vec {x}},{\vec {x}})+({\vec {y}},{\vec {y}})+({\vec {x}},{\vec {y}})+({\vec {y}},{\vec {x}})$, где $({\vec {x}},{\vec {y}})+({\vec {y}},{\vec {x}})=2Re({\vec {x}},{\vec {y}});2Re({\vec {x}},{\vec {y}})\leqslant 2|({\vec {x}},{\vec {y}})|\leqslant 2||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||$ по неравенству К-Б. $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||^{2}\leqslant ||{\vec {x}}||^{2}+2||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||+||{\vec {y}}||^{2}=(||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||)^{2}.$

Неравенство Коши-Буняковского

$(f,g)=\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leqslant (\int \limits _{a}^{b}f(x)^{2})^{\frac {1}{2}}(\int \limits _{a}^{b}g(x)^{2})^{\frac {1}{2}}$ - неравенство Буняковского.

$({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leqslant (\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{\frac {1}{2}}(\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}^{2})^{\frac {1}{2}}$ - неравенство Коши.

• Е - евклидово пространство.

Утверждение. \\$\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in E:|({\vec {x}},{\vec {y}})|\leqslant ||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||$, где $||{\vec {x}}||={\sqrt {({\vec {x}},{\vec {x}})}},||{\vec {y}}||={\sqrt {({\vec {y}},{\vec {y}})}}.$

Доказательство. Если ${\vec {y}}=0$, то $({\vec {x}},{\vec {y}})=({\vec {x}},0{\vec {z}})=0({\vec {x}},{\vec {z}})=0;{\vec {0}}=0{\vec {z}},||{\vec {y}}||={\sqrt {({\vec {y}},{\vec {y}})}}=0{\text{при}}{\vec {y}}={\vec {0}}.$

пусть ${\vec {y}}\not =0$

$0\leqslant ({\vec {x}}-\lambda {\vec {y}},{\vec {x}}-\lambda {\vec {y}})=({\vec {x}},{\vec {x}})-2\lambda ({\vec {x}},{\vec {y}})+\lambda ^{2}({\vec {y}},{\vec {y}});\lambda =\lambda _{0}={\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}.$

$({\vec {x}},{\vec {x}})-2{\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}({\vec {x}},{\vec {y}})+{\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}{\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}({\vec {y}},{\vec {y}})\Rightarrow 0\leqslant ({\vec {x}},{\vec {x}})({\vec {y}},{\vec {y}})-({\vec {x}},{\vec {y}})({\vec {x}},{\vec {y}})\Rightarrow |({\vec {x}},{\vec {y}})|\leqslant ||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||$

• U -унитарное пространство.

Утверждение. $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in U:|({\vec {x}},{\vec {y}})|\leqslant ||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||$

Доказательство. Если ${\vec {y}}=0$, то нер-во выполняется.

пусть ${\vec {y}}\not =0$

$0\leqslant ({\vec {x}}-\lambda {\vec {y}},{\vec {x}}-\lambda {\vec {y}})=({\vec {x}},{\vec {x}})-\lambda ({\vec {x}},{\vec {y}})-{\overline {\lambda }}({\vec {x}},{\vec {y}})+|\lambda |^{2}({\vec {y}},{\vec {y}});\lambda ({\vec {y}},{\vec {x}})+{\overline {\lambda ({\vec {y}},{\vec {x}})}}=2Re({\vec {y}},{\vec {x}}).\lambda =\lambda _{0}={\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}.$

$({\vec {x}},{\vec {x}})-{\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}({\vec {x}},{\vec {y}})-{\frac {({\vec {y}},{\vec {x}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}({\vec {x}},{\vec {y}})+{\frac {({\vec {x}},{\vec {y}})}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}{\frac {\overline {({\vec {x}},{\vec {y}})}}{({\vec {y}},{\vec {y}})}}({\vec {y}},{\vec {y}})\Rightarrow |({\vec {x}},{\vec {y}})|\leqslant ||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||$