Определения

править

Задача Коши,  ,   - начальные данные:

 

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем  , являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:
 

является функция  , которая определена на <a,b>  и

  1.   (непрерывна)
  2.   <a,b>
  3. подстановка   превращает уравнение (3) в тождество.


Лемма. Функция   является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.


Доказательство. Пусть   - решение задачи Коши   и  

Проинтегрируем тождество от   до  :

 

Теперь пусть   - решение интегрального уравнения, покажем, что она есть решение дифф. уравнения и удовлетворяет начальному условию. Для этого вначале подставим в (3)  :  

Продифференцируем (3) и получим (1)


Определение.  , заданная на  , удовлетворяет условию Липшица, если  


Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на   (для док-ва замечания надо взять  )

Определение. Последовательность функций   является равномерно ограниченной если  


Определение. Последовательность функций   называется равнестепенно непрерывной, если  


Лемма Асколи-Арцела. Теорема Пеано

править
Лемма Асколи-Арцела.  Из любой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности функций   можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность  


Доказательство. Пусть   - равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.   - разделим прямоугольник на вертикальные полосы высоты   и длины  

График каждой из функций   может находиться не более чем в двух смежных парах прямоугольников высоты  . В каждой вертикальной полосе есть пара прямоугольников, в которых располагается бесконечное множество графиков, так как множество прямоугольников конечно, а подпоследовательностей бесконечно. Выберем подпоследовательность функций в этих прямоугольниках  

 , теперь будем уменьшать  . возьмём   и выберем  

 

 

 ,  

 

Диагональный процесс Кантора - берем элементы на главной диагонали  

  выбираем номер p:  , тогда  


Теорема Пеано.  Пусть функция   определена и непрерывна в области G и пусть точка  

Тогда существует решение задачи Коши определенное на некотором отрезке  

Доказательство.  -окрестность точки  .  .

Функция непрерывна на замкнутом множестве, след-но ограничена на нём:  . Зафиксируем некоторое N и рассмотрим разбиение отрезка:  . Рисуем ломаную Эйлера через  , такую что угловой коэффициент равен   на  . Ломаная не может выйти за пределы  , так как чтобы она вырвалась угол наклона должен быть больше L, а это невозможно. Получаем последовательность  .

На  

Последовательность ограничена:   (1) Заметим также, что последовательность равностепенно непрерывна:   Значит по лемме Асколи-Арцела   на  , здесь   - решение задачи Коши.

Зафиксируем некоторую точку  .Если начать менять  , то возникает картина меняющихся подотрезков, но каждый раз   будет принадлежать некоторому отрезку  

 

  (вместо   поставим предельную функцию  )  

Первое слагаемое в сумме при стремлении длины отрезка к нулю будет стремиться к интегралу:  .

Покажем что  . Заметим, что f непрерывна на всём G   непрерывна на треугольнике (1), а так как треугольник - ограниченное множество, f равномерно непрерывна на (1)     В частности, если   и   совпадают,   разность   как только  .

  может быть оценен   при  . Это говорит о том, что  

Теперь перейдем к передлу, когда  , это равненство справедливо для  


Единственность решения задачи Коши

править
Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если   окрестность   и постоянная  


Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное
Доказательство. От противного. Пусть существует два решения  , определённые на   и  . В точке   решения   по условию задачи Коши, но  . Пусть  .

Рассмотрим точку  всех точек  , таких что  .

Множество точек непустое и ограниченное.  

Поскольку   непрерывны, супремум - максимум, значит   и  {}

  на   (1)

  на   (2)

В силу условия теоремы   удовлетворяет локальному условию Липшица   некоторая окрестность   верно как только  

Вычтем (1) из (2):   на   Проинтегрируем неравенство на  :  

Заменим отрезок на меньший    

 . Выберем  , чтобы   оказалось  . Получаем что  , чего быть не может.


Определение. Функция   удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной  , если   диаметра   и функция   такие что  


Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.
Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения:   Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциия   удовлетворяет на отрезке   тождеству   на  .

Поделим обе части неравенства на  :   всюду на  

  на  . Проинтегрируем на  :

 . Устремим  .  , второй интеграл   - противоречие.