Струна - это натянутая нить, которая не сопротивляется изгибу.
Рассмотрим малые поперечные колебания струны.
- отклонение струны от положения равновесия в точке
в момент времени
.
Будем считать, что струна бесконечна в силу того, что колебания малые будем пренебрегать слагаемым
,
при колебаниях струна не меняет длину относительно положения равновесия
в силу закона Гука натяжение струны не меняется.
- натяжение струны
Рассмотрим отрезок
Обозначим
- плотность внешних сил, которые действуют на струну в точке
в момент времени
. Силы действуют
оси
Составим уравнение движения в проекции на ось
. Проведем касательную к струне в точке
.
- плотность струны в точке
- масса кусочка струны
II закон Ньютона

В силу малости колебаний

Переписываем уравнение в виде:
![{\displaystyle (1):\rho (x){\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{0}}{\Delta x}}\left[{\frac {\partial U}{\partial x}}(x+\Delta x,t)-{\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\right]+f(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96eac8b446e40c89c6788247b9f45abbf093475)
Переходим к пределу при
- одномерное волновое уравнение

Из физических соображений следует: чтобы однозначно задать колебания струны надо задать начальное отклонение и скорость.
-
-
Будем предполагать, что дважды дифференцируема, - один раз дифференцируема.
Уравнение имеет гиперболический тип.
Характеристики , .
Замена , .
Имеем .
Решение: .
-
Остается выбрать функции и , чтобы удовлетворять начальному условию (3):
-
Проинтегрируем 2 уравнение по :
-
-
-
В итоге имеем решение
-
-
Доказана следующая теорема:
Теорема. Решение задачи Коши (2)(3) если дважды дифференцируема и один раз дифференцируема и задается формулой Даламбера.