Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера

Струна - это натянутая нить, которая не сопротивляется изгибу. Рассмотрим малые поперечные колебания струны.

$U(x,t)$ - отклонение струны от положения равновесия в точке $x$ в момент времени $t$.

Будем считать, что струна бесконечна в силу того, что колебания малые будем пренебрегать слагаемым $({\frac {\partial U}{\partial x}})^{2}$, $p\geq 2$

$l=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+({\frac {\partial U}{\partial x}})^{2}}}dx\approx x_{2}-x_{1}\Rightarrow$ при колебаниях струна не меняет длину относительно положения равновесия $\Rightarrow$ в силу закона Гука натяжение струны не меняется.

${\vec {T}}(x,t)$ - натяжение струны

$|{\vec {T}}(x,t)|=T_{0}=const$

Рассмотрим отрезок $[x,x+\Delta x]$ Обозначим ${\vec {F}}(x,t)$ - плотность внешних сил, которые действуют на струну в точке $x$ в момент времени $t$. Силы действуют $\bot$ оси $x$

Составим уравнение движения в проекции на ось $U$. Проведем касательную к струне в точке $x$.

$\rho (x)$ - плотность струны в точке $x$

$\rho (x)\Delta x$ - масса кусочка струны

II закон Ньютона

$\rho (x)\Delta x{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=T_{0}\sin(\alpha (x+\Delta x,t))-T_{0}\sin(\alpha (x,t))+F(x,t)\Delta x$

В силу малости колебаний

$\sin \alpha ={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}={\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{\sqrt {1+({\frac {\partial U}{\partial x}})^{2}}}}\approx {\frac {\partial U}{\partial x}}$

Переписываем уравнение в виде:

$(1):\rho (x){\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{0}}{\Delta x}}\left[{\frac {\partial U}{\partial x}}(x+\Delta x,t)-{\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\right]+f(x,t)$

Переходим к пределу при $\Delta x\to 0$

$\rho (x){\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=T_{0}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+F$ - одномерное волновое уравнение

$({\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+f,a^{2}={\frac {T_{0}}{\rho }}>0,f={\frac {F}{\rho }})$

Из физических соображений следует: чтобы однозначно задать колебания струны надо задать начальное отклонение и скорость.

Формула Даламбера

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\quad -\infty <x<+\infty ,t\geq 0(2)$

$U(x,0)=\phi (x),{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,0)=\psi (x)\quad (3)(x\in (-\infty ,+\infty ))$

Будем предполагать, что $\phi (x)$ дважды дифференцируема, $\psi (x)$ - один раз дифференцируема. Уравнение имеет гиперболический тип. Характеристики $x+at=c_{1}$, $x-at=c_{2}$.

Замена $\xi =x+at$, $\eta =x-at$. Имеем ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial \xi \partial \eta }}=0$. Решение: $U=f_{1}(\xi )+f_{2}(\eta )$.

$U(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)\quad (4){\text{ - общее решение}}$

Остается выбрать функции $f_{1}$ и $f_{2}$, чтобы удовлетворять начальному условию (3):

${\begin{cases}f_{1}(x)+f_{2}(x)=\phi (x)\\af'_{1}(x)-af'_{2}(x)=\psi (x)\end{cases}}$

Проинтегрируем 2 уравнение по $x$:

${\begin{cases}f_{1}(x)-f_{2}(x)={\frac {1}{a}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (z)dz+c{\text{, где }}x_{0},c{\text{ - некие константы}}\\f_{1}(x)+f_{2}(x)=\phi (x)\end{cases}}$

$f_{1}(x)={\frac {\phi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (z)dz+{\frac {c}{2}}$

$f_{2}(x)={\frac {\phi (x)}{2}}-{\frac {1}{2a}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (z)dz-{\frac {c}{2}}$

В итоге имеем решение

$U(x,t)={\frac {\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\{\int _{x_{0}}^{x+at}\psi (z)dz-\int _{x_{0}}^{x-at}\psi (z)dz\}$

$U(x,t)={\frac {\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int _{x-at}^{x+at}\psi (z)dz\quad (5){\text{ - формула Даламбера}}$

Доказана следующая теорема:

Теорема. Решение задачи Коши (2)(3) если $\phi$ дважды дифференцируема и $\psi$ один раз дифференцируема $\exists !$ и задается формулой Даламбера.