Задача Штурма-Лиувилля

Пусть $L[u]=-{\frac {d}{dx}}[p{\frac {du}{dx}}]+qu$ , где $p\in C^{1}[0,l],q\in C[0,1],0<p_{0}\leq p(x)$ Пусть $p\in C[0,l],p>0$ -заданная функция.

Задача Штурма-Лиувилля

$L[u]=\lambda pu\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)=0(2)\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)=0$

Как и ранее, $\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}>0,\alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$ . Если при некоторых значениях параметра $\lambda$ эта задача имеет нетривальное решение $u(x)$ , то $\lambda$ называется собственной функцией, соответствующей собственному значению $\lambda$ .

Свойства собственных функций

Собственные числа задачи Штурма-Лиувилля образуют строго возрастающую последовательность $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dots <\lambda _{n}<\dots$ , причем $\lambda _{n}\rightarrow +\infty$ , при $n\rightarrow \infty$ .
Каждому собственному значению $\lambda _{n}$ соответствует ровно одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция $\varphi _{n}$

Доказательство.

L[u]=\lambda pu

запишем в виде

{\tilde {L}}[u]=0

, где

{\tilde {L}}

отличается заменой

q

на

{\tilde {q}}=q-\lambda p

. Как следует из Леммы (про их линейную зависимость), всякие 2 функции, удовлетворяющие уравнению

{\tilde {L}}[u]=0

и уравению (2) линейно зависимы

Собственные функции $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ образуют на отрезке [0,l] ортогональную с весом p систему, то есть $(\varphi _{n},\varphi _{m})_{p}=0$ при $n\neq m$

Доказательство. Используя формулу Грина, имеем:

$\int _{0}^{l}(L[\varphi _{n}]\varphi _{m}-L[\varphi _{m}]\varphi _{n})dx=0$ .

Пользуясь тем, что $L[\varphi _{n}]=\lambda _{n}p\varphi _{n}$ , $L[\varphi _{m}]=\lambda _{m}p\varphi _{m}$ , имеем $(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{0}^{l}\varphi _{n}\varphi _{m}pdx=0$ при $n\neq m$ имеем $(\varphi _{n},\varphi _{m})_{p}=0$ .

Система $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ортонормирована, то есть удовлетворяет дополнительному условию $|\varphi _{n}|_{p}=1$ для всех $n\geq 1$ .

Всякая функция $f\in C^{1}[0,l]$ , такая, что $p{\frac {df}{dx}}\in C^{1}[0,l]$ и удовлетворяет краевым условиям (2) и (3), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке $[0,l]$ ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(x),(1)

где $c_{k}=\int _{0}^{l}f(x)\varphi _{k}(x)p(x)dx$ , если $|\varphi _{n}|_{p}=1$ .

Замечание к теореме Стеклова

Для всякой функции $f\in C[0,l]$ ряд (1) сходится в среднем:

||f-\sum _{k=1}^{N}C_{k}\varphi _{k}||_{p}^{2}=\int _{0}^{l}(f(x)-\sum _{k=1}^{N}C_{k}\varphi _{k}(x))^{2}p(x)dx\rightarrow 0,N\rightarrow \infty

Теорема(справочно) Пусть $q(x)\geq 0$ Тогда однородная КЗ для $L[u]=0$ имеет лишь нулевое решение при каждом из следующих 4-х типов граничных условий: