Задача Штурма-Лиувилля

Пусть $L[u]=-{\frac {d}{dx}}[p{\frac {du}{dx}}]+qu$, где $p\in C^{1}[0,l],q\in C[0,1],0<p_{0}\leq p(x)$ Пусть $p\in C[0,l],p>0$-заданная функция.

Задача Штурма-Лиувилля

$L[u]=\lambda pu\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)=0(2)\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)=0$

Как и ранее, $\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}>0,\alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$. Если при некоторых значениях параметра $\lambda$ эта задача имеет нетривальное решение $u(x)$, то $\lambda$ называется собственной функцией, соответствующей собственному значению $\lambda$.

Свойства собственных функций

• Собственные числа задачи Штурма-Лиувилля образуют строго возрастающую последовательность $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dots <\lambda _{n}<\dots$, причем $\lambda _{n}\rightarrow +\infty$, при $n\rightarrow \infty$.
• Каждому собственному значению $\lambda _{n}$ соответствует ровно одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция $\varphi _{n}$

Доказательство. $L[u]=\lambda pu$ запишем в виде ${\tilde {L}}[u]=0$, где ${\tilde {L}}$ отличается заменой $q$ на ${\tilde {q}}=q-\lambda p$. Как следует из Леммы (про их линейную зависимость), всякие 2 функции, удовлетворяющие уравнению ${\tilde {L}}[u]=0$ и уравению (2) линейно зависимы

• Собственные функции $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ образуют на отрезке [0,l] ортогональную с весом p систему, то есть $(\varphi _{n},\varphi _{m})_{p}=0$ при $n\neq m$

Доказательство. Используя формулу Грина, имеем:

$\int _{0}^{l}(L[\varphi _{n}]\varphi _{m}-L[\varphi _{m}]\varphi _{n})dx=0$.

Пользуясь тем, что $L[\varphi _{n}]=\lambda _{n}p\varphi _{n}$, $L[\varphi _{m}]=\lambda _{m}p\varphi _{m}$, имеем $(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{0}^{l}\varphi _{n}\varphi _{m}pdx=0$ при $n\neq m$ имеем $(\varphi _{n},\varphi _{m})_{p}=0$.

Система $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ортонормирована, то есть удовлетворяет дополнительному условию $|\varphi _{n}|_{p}=1$ для всех $n\geq 1$.

• Всякая функция $f\in C^{1}[0,l]$, такая, что $p{\frac {df}{dx}}\in C^{1}[0,l]$ и удовлетворяет краевым условиям (2) и (3), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке $[0,l]$ ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(x),(1)$

где $c_{k}=\int _{0}^{l}f(x)\varphi _{k}(x)p(x)dx$, если $|\varphi _{n}|_{p}=1$.

Замечание к теореме Стеклова

Для всякой функции $f\in C[0,l]$ ряд (1) сходится в среднем:

$||f-\sum _{k=1}^{N}C_{k}\varphi _{k}||_{p}^{2}=\int _{0}^{l}(f(x)-\sum _{k=1}^{N}C_{k}\varphi _{k}(x))^{2}p(x)dx\rightarrow 0,N\rightarrow \infty$

Теорема(справочно) Пусть $q(x)\geq 0$ Тогда однородная КЗ для $L[u]=0$ имеет лишь нулевое решение при каждом из следующих 4-х типов граничных условий:

1. $u(0)=0,u(l)=0$
2. $-p(0)u'(0)+\sigma _{1}u(0)=0,u(l)=0$
3. $u(0)=0,p(l)u'(l)+\sigma _{2}u(l)=0$
4. $-p(0)u'(0)+\sigma _{1}u(0)=0,p(l)u'(l)+\sigma _{2}u(l)=0$.

Если $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\leq 0$, то $\int _{0}^{l}q(x)dx>0$, т.е. $q(x)\not \equiv 0$

$\sigma _{1}\geq 0$, $\sigma _{2}\geq 0$

Свойство Пусть $q\geq 0$. Тогда в случае граничных условий из теоремы выше имеем $\lambda _{n}>0$ для всех $n\geq 1$

Доказательство. Умножаем равенство $L[\varphi _{n}]=\lambda _{n}p\varphi _{n}$ на $\varphi _{n}$ и проинтегрируем результат по $x$:

$\int _{0}^{l}p(\varphi '_{n})^{2}dx+\int _{0}^{l}q\varphi _{n}^{2}dx+p(0)\varphi '_{n}(0)\varphi _{n}(0)-p(l)\varphi '_{n}(l)\varphi _{n}(l)=$

$=\lambda _{n}\int _{0}^{l}p\varphi _{n}^{2}dx=\lambda _{n}$

Отсюда: $\lambda _{n}\geq \int _{0}^{l}p(\varphi '_{n})^{2}dx+\int _{0}^{l}q\varphi _{n}^{2}dx>0$