Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений

Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.

Однородная СЛАУ:

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,r}x_{r}+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=0\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,r}x_{r}+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=0\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\dots +a_{n,r}x_{r}+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{n,n}x_{n}=0\end{cases}}$

$x_{1},x_{2}\dots x_{r}$ - базисные неизвестные. $x_{r+1},x_{r+2}\dots x_{n}$ - свободные неизвестные (если $r_{A}<n$)

Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,r}x_{r}=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\dots -a_{1,n}x_{n}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,r}x_{r}=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\dots +a_{2,n}x_{n}\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\dots +a_{n,r}x_{r}=-a_{n,r+1}x_{r+1}-\dots +a_{n,n}x_{n}\end{cases}}$

$x_{1},x_{2}\dots x_{r}$ - найдутся однозначно. $x_{r+1},x_{r+2}\dots x_{n}$ - можно задать любыми. $r_{A}=n\Rightarrow$ только тривиальное решение.

Cвойства решений однородных СЛАУ.

• Если Х - решение матричного уравнения $AX=\Theta$, то $\forall \lambda \in R^{1},$

$\lambda X={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\dots \\\lambda x_{n}\end{pmatrix}}$ снова будет решением.

• $X_{1}$ и $X_{2}$ - решения, то $(X_{1}+X_{2})$ - тоже будет решением.
• Если $X_{1}\dots X_{k}$ - решение системы, то для $\forall$ чисел $\lambda _{1}\dots \lambda _{k}\in R^{1}$, $z=\sum \limits _{i=1}^{k}\lambda _{i}X_{i}$ - будет решением системы.

Формула общего решения однородных СЛАУ

Определение. Cистема решений СЛАУ $X_{1}\dots X_{n-r}$ называется фундаментальной системой решений $\Leftrightarrow$ система $X_{1}\dots X_{n-r}$ линейно независима.

Теорема. Пусть $r_{A}<n$; $X_{1}\dots X_{n-r}$ - ФСР для СЛАУ, тогда $\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}X_{j}$ - является общим решением СЛАУ. т.е. :

1. $\forall (C_{1}\dots C_{n-r})\in R^{1}$ сумма $\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}X_{j}$ - является решением СЛАУ
2. $\forall X^{*}$ - решения системы $\exists !$ числа $C_{1}^{*},C_{2}^{*},\dots ,C_{n-r}^{*}$ : $X^{*}=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}^{*}X_{j}$

Доказательство. Cистему запишем в матричной форме;

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\dots \\x_{n}\end{pmatrix}},\Theta ={\begin{pmatrix}0\\\dots \\0\end{pmatrix}}\Leftrightarrow AX=\Theta ,\Rightarrow$ поскольку $X_{j}$ является решением $\Rightarrow AX_{j}=\Theta ,(j=1,2\dots ,n-r).$

Докажем выполнение условия $A(\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}X_{j})=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}(AX_{j})=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}(\Theta )=\Theta .$ \\2) пусть $X^{*}$ произвольное решение системы. $X^{*}=(\beta _{1},\dots ,\beta _{r},\beta _{r+1},\dots ,\beta _{n})$.

Cоставим матрицу:

${\begin{pmatrix}&X_{1}&&X_{r}&X_{r+1}&&X_{n}\\X^{*}&\beta _{1}&\dots &\beta _{r}&\beta _{r+1}&\dots &\beta _{n}\\X_{1}&\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,r}&\alpha _{1,r+1}&\dots &\alpha _{1,n}\\&\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{n-r}&\alpha _{n-r,1}&\dots &\alpha _{n-r,r}&\alpha _{n-r,r+1}&\dots &\alpha _{n-r,n}\\\end{pmatrix}}=D;$

$(n-r)\leqslant r_{D}\leqslant (n-r),\Rightarrow r_{D}=(n-r)$

покажем единственность.

${\tilde {C}}_{1}X_{1}+{\tilde {C}}_{2}X_{2}+\dots +{\tilde {C}}_{n-r}X_{n-r}=X^{*}=C_{1}^{*}X_{1}+C_{2}^{*}X_{2}+\dots +C_{n-r}^{*}X_{n-r}$

$({\tilde {C}}_{1}-C_{1}^{*})X_{1}+({\tilde {C}}_{2}-C_{2}^{*})X_{2}+\dots +({\tilde {C}}_{n-r}-C_{n-r}^{*})X_{n-r}=\Theta$

Формула общего решения неоднородных СЛАУ

Неоднородная СЛАУ:

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,r}x_{r}+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,r}x_{r}+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\dots +a_{n,r}x_{r}+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{n,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}$

Теорема. $X_{OH}=X_{OO}+X_{4H}$ (общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.)

Доказательство. 1) покажем что $\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}X_{j}+X_{4H}$ является решением при любых $C_{1},\dots ,C_{n-r}$. ${}A(\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}X_{j}+X_{4H})=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}AX_{j}+AX_{4H}=\Theta +B$.

2) покажем что для любого решения системы $\exists !C_{1}^{*},\dots ,C_{n-r}^{*}$ такие что ${\tilde {X}}=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}^{*}X_{j}+X_{4H}$. возьмём $Z={\tilde {X}}-X_{4H},\Rightarrow Z$ удовлетворяет однородной системе и $\exists !C_{1}^{*},\dots ,C_{n-r}^{*}:Z=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}^{*}X_{j}\Rightarrow {\tilde {X}}=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}^{*}X_{j}+X_{4H}.$