Комплексный анализ I/Билеты/Больше про интеграл

Теорема. (о существовании первообразной в односвязной области) ${\textstyle \sqsupset D\subset \mathbb {C} }$ односвязная область'', ${\textstyle f\in O(D)}$''. Тогда ${\textstyle \exists }$ первообразная ${\textstyle F(z)=\int _{a}^{z}f(\xi )d\xi +c}$, где ${\textstyle \int _{a}^{z}f(\xi )d\xi }$ интегал по любой спрямляемой кривой из ${\textstyle D}$ с началом в ${\textstyle a}$ и концом в ${\textstyle z}$.

Доказательство. Интеграл ${\textstyle \int _{a}^{z}f(\xi )d\xi }$ не зависит от выбора кривой из ${\textstyle D}$ в силу теоремы Коши. Проверим, что ${\textstyle F}$ первообразная ${\textstyle f(z)}$:

${\textstyle \left|{\frac {F(z)-F\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{a}^{z}f(\xi )d\xi -\int _{a}^{z_{0}}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{z_{0}}^{z}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=}$

${\textstyle =\left|{\frac {\int _{\left[2_{0},z\right]}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{\left[z_{0},z\right]}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-{\frac {\int _{\left[z_{0},z\right]}f\left(z_{0}\right)d\xi }{z-z_{0}}}\right|=\left|{\frac {1}{z-z_{0}}}\left(\int _{\left[z_{0},z\right]}\left[f(\xi )-f\left(z_{0}\right)\right]d\xi \right)\right|}$

${\textstyle f\in O(D)}$, следовательно, ${\textstyle f(\xi )=f\left(z_{0}\right)+f^{\prime }\left(z_{0}\right)\left(\xi -z_{0}\right)+o\left(\xi -z_{0}\right)}$

${\textstyle \left|{\frac {1}{z-z_{0}}}\left(\int _{\left[z_{0},z\right]}\left[f(\xi )-f\left(z_{0}\right)\right]d\xi \right)\right|\leq {\frac {1}{\left|z-z_{0}\right|}}\left(\left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|\left|z-z_{0}\right|^{2}+\varepsilon \left|z-z_{0}\right|^{2}\right)\rightarrow 0}$ при ${\textstyle z\rightarrow z_{0}}$

Значит, ${\textstyle F'(z)=f(z)}$.

Задача. По существу ли здесь односвязность? Привести пример неодносвязной области и функции таких, что эта функция голоморфна в этой области, но не имеет в ней первообразной.

Определение. Замыкание${\textstyle D:{\overline {D}}=D\cup \partial D}$.

Теорема. (общая интегральная теорема Коши, без доказательства) ${\textstyle \sqsupset D\subset \mathbb {C} }$ односвязная область, ${\textstyle \partial D}$ замкнутая спрямляемая кривая, ${\textstyle f\in O(D)\cap C({\overline {D}})}$. Тогда ${\textstyle \int _{\partial D}f(z)dz=0}$.

Теорема. (Коши для составного контура): ${\textstyle \sqsupset \Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}}$'',где ${\textstyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n}}$ жордановы замкнутые кривые, ${\textstyle \Gamma _{j}\in \operatorname {Int} \Gamma _{0}\quad \forall j=1,\dots ,n}$, ${\textstyle {\overline {\operatorname {Int} \Gamma _{j}}}\cap {\overline {\operatorname {Int} \Gamma _{k}}}=\emptyset \quad \forall j\neq k,\quad j,k\in \{1,\ldots ,n\},\quad f\in O(\operatorname {Int} \Gamma )\cap C({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }})}$. Тогда ${\textstyle \int _{\Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}^{-}}f(z)dz=0}$

Доказательство.

Соединим ${\textstyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n}}$ перемычками ${\textstyle \Delta _{1},\dots ,\Delta _{n}}$,чтобы перемычки не пересекались и получилась односвязная область ${\textstyle D^{\prime }=\operatorname {Int} \Gamma \backslash \left(\Delta _{1}\cup \ldots \cup \Delta _{n}\right)}$. ${\textstyle \Delta _{j}}$ ломаная,соединяющая точку на ${\textstyle \Gamma _{j-1}}$ с точкой на ${\textstyle \Gamma _{j}}$и ${\textstyle \Delta _{j}}$, вся, кроме концов, лежит в ${\textstyle \operatorname {Int} \Gamma }$. Значит, по предыдущей теореме ${\textstyle \int _{\partial D}f(z)dz=0=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\int _{\Gamma _{1}^{-}}f(z)dz+\cdots +\int _{\Gamma _{n}^{-}}f(z)dz\;+\;}$интегралы по перемычкам, проходимым и в том, и другом направлении (и, соответственно, сокращающиеся).

${\textstyle 0=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\int _{\Gamma _{1}^{-}}f(z)dz+\cdots +\int _{\Gamma _{n}^{-}}f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz}$

Теорема. (интегральная формула Коши) ${\textstyle \sqsupset \Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}^{-}}$ составной жорданов спрямляемый контур, ${\textstyle f\in O(\operatorname {Int} \Gamma )\cap C({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }}).}$ Тогда ${\textstyle \forall z\in \operatorname {Int} \Gamma \quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$.

Доказательство. Возьмём фиксированное ${\textstyle z\in \operatorname {Int} \Gamma z\in \operatorname {Int} \Gamma }$ и кривую ${\textstyle \gamma }$:

${\textstyle \gamma =\{\xi :|\xi -z|<r\}\mathrm {,} \{|\xi -z|\leq r\}\subset \operatorname {Int} \Gamma }$

${\textstyle \int _{\Gamma \cup \gamma ^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}$ (по предыдущей теореме, так как ${\textstyle {\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\in O\left(\operatorname {Int} \left(\Gamma \cup \gamma ^{-}\right)\right),f\in O({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }})}$

${\textstyle \int _{\Gamma \cup \gamma ^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int {\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}$

${\textstyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

${\textstyle \int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -2\pi if(z)=\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int _{y}{\frac {d\xi }{\xi -z}}f(z)=\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \leq {\frac {2\pi r\max _{|\xi -z|\pm r}|f(\xi )-f(z)|}{r}}=}$

${\textstyle =2\pi \max _{|\xi -z|=r}|f(\xi )-f(z)|\rightarrow 0{\text{, }}r\rightarrow 0}$

${\textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)