Комплексный анализ I/Билеты/Вычеты

составной спрямляемый жорданов контур в и .

Если нет, то по теореме Коши ;

если же особые точки есть, то окружим каждую из них окружностью, обозначим эти окружности через и рассмотрим новый составной жорданов контур .

По теореме Коши (так как )

но

Определение. . Вычетом в точке называется число .

Из этого определения сразу вытекает

Теорема. (Коши о вычетах): составной спрямляемый жорданов контур в и . Тогда .

Теорема.

Доказательство. (из формулы коэффициентов ряда Лорана)

Способы подсчёта вычетов

править

1)   устранимая для    

2)   полюс первого порядка для  

 

2a)   нуль первого порядка для  , то есть  . Тогда  

3)   полюс порядка   для  

 

4)   существенно особая для  . В этом случае общего способа нет, нужно пытаться разложить   в ряд Лорана и взять  .

Вычет в

править

 

 

 

Обратное направление обхода выбрано, чтобы область   при обходе контура оставалась слева:

 

 

Вычет   в   может не равняться нулю, даже если   устранимая точка для  .

Теорема.  

Доказательство. Окружим каждую из   окружностью, обозначим эти окружности через  , а через   обозначим окружность  . Рассмотрим составной жорданов контур  .

  (по теореме Коши)

 

 

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)