Комплексный анализ I/Билеты/Вычеты

${\textstyle \sqsupset }$${\textstyle \Gamma }$ составной спрямляемый жорданов контур в ${\textstyle \mathbb {C} }$ и ${\textstyle f\in O\left(\operatorname {In} t\Gamma \backslash \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)\cap C\left(\Gamma \cup \operatorname {In} t\Gamma \backslash \left\{_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)}$.

Если ${\textstyle a_{j}}$ нет, то по теореме Коши ${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=0}$;

если же особые точки есть, то окружим каждую из них окружностью, обозначим эти окружности через ${\textstyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$ и рассмотрим новый составной жорданов контур ${\textstyle \Gamma ^{\prime }=\Gamma \cup \gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \gamma _{n}^{-}}$.

По теореме Коши ${\textstyle \int _{\Gamma ^{\prime }}f(z)dz=0}$ (так как ${\textstyle f\in O\left(\operatorname {Int} \Gamma ^{\prime }\right)\cap C\left({\overline {\operatorname {Int} \Gamma ^{\prime }}}\right)}$)

но ${\textstyle 0=\int _{\Gamma ^{\prime }}f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz-\sum _{k=1}^{n}\int _{V_{k}}f(z)dz\Rightarrow \int _{\Gamma }f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}\int _{V_{k}}f(z)dz}$

Определение. ${\textstyle \sqsupset f\in O(0<|z-a|<\varepsilon )}$. Вычетом ${\textstyle f}$ в точке ${\textstyle a}$ называется число ${\textstyle \operatorname {res} _{a}f:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }f(z)dz}$.

Из этого определения сразу вытекает

Теорема. (Коши о вычетах): ${\textstyle \sqsupset }$${\textstyle \Gamma }$ составной спрямляемый жорданов контур в ${\textstyle \mathbb {C} }$ и ${\textstyle f\in O\left(\operatorname {In} t\Gamma \backslash \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)\cap C\left(\Gamma \cup \operatorname {In} t\Gamma \backslash \left\{_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)}$. Тогда ${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {res} _{a_{k}}f}$.

Теорема. ${\textstyle f\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}\Rightarrow {\underset {a}{\operatorname {res} f}}=C_{-1}}$

Доказательство. ${\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}$ (из формулы коэффициентов ряда Лорана)

${\textstyle n=-1:C_{-1}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }f(z)dz={\underset {a}{\operatorname {res} f}}}$

Способы подсчёта вычетов

1) ${\textstyle a}$ устранимая для ${\textstyle f}$ ${\textstyle \Rightarrow f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}\Rightarrow C_{-1}={\underset {a}{\operatorname {res} }}f=0}$

2) ${\textstyle a}$ полюс первого порядка для ${\textstyle f\Rightarrow f(z)={\frac {C_{-1}}{z-a}}+C_{0}+C_{1}(z-a)+\cdots \Rightarrow }$

${\textstyle \Rightarrow \operatorname {res} f=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}f(z)(z-a)}$

2a) ${\textstyle f(z)={\frac {\varphi (z)}{\psi (z)}}:\varphi (z)\in O(u(a)),\varphi (a)\neq 0,\psi (z)\in O(u(a)),a}$ нуль первого порядка для ${\textstyle \psi (z)}$, то есть ${\textstyle \psi ^{\prime }(a)\neq 0}$. Тогда ${\textstyle {\underset {a}{\operatorname {res} f}}=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\varphi (z)(z-a)}{\psi (z)-\psi (a)}}={\frac {\varphi (a)}{\psi ^{\prime }(a)}}}$

3) ${\textstyle a}$ полюс порядка ${\textstyle N}$ для ${\textstyle f\Rightarrow f(z)={\frac {C_{-N}}{(z-a)^{N}}}+{\frac {C_{-N+1}}{(z-a)^{N-1}}}+\cdots +{\frac {C_{-1}}{z-a}}+C_{0}+\cdots \Rightarrow }$

${\textstyle \Rightarrow \operatorname {res} f=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\left[f(z)(z-a)^{N}\right]^{(N-1)}}{(N-1)!}}}$

4) ${\textstyle a}$ существенно особая для ${\textstyle f}$. В этом случае общего способа нет, нужно пытаться разложить ${\textstyle f}$ в ряд Лорана и взять ${\textstyle C_{-1}}$.

Вычет в ${\textstyle \infty }$

${\textstyle f\in O(|z|>R)}$

${\textstyle {\underset {\infty }{\operatorname {res} }}f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{(|z|=\rho )^{-}}f(z)dz}$

${\textstyle \rho >R}$

Обратное направление обхода выбрано, чтобы область ${\textstyle |z|>\rho }$ при обходе контура оставалась слева:

${\textstyle {\begin{array}{c}{f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}\\{\operatorname {res} f(z)=-C_{-1}}\end{array}}}$

Вычет ${\textstyle f(z)}$ в ${\textstyle \infty }$ может не равняться нулю, даже если ${\textstyle \infty }$ устранимая точка для ${\textstyle f(z)}$.

Теорема. ${\textstyle f\in O\left(\mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{n}\operatorname {res} f=-\operatorname {res} f}$

Доказательство. Окружим каждую из ${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ окружностью, обозначим эти окружности через ${\textstyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$, а через ${\textstyle \gamma }$ обозначим окружность ${\textstyle |z|=\rho }$. Рассмотрим составной жорданов контур ${\textstyle \Gamma =\gamma \cup \gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \gamma _{n}^{-}}$.

${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }f(z)dz+\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}^{-}}f(z)dz=0}$ (по теореме Коши)

${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}f(z)dz}$

${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\operatorname {res} f={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}f(z)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)dz=-\operatorname {res} _{\infty }f}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)