Комплексный анализ I/Билеты/Мероморфные функции

Функции, мероморфные в ${\textstyle \mathbb {C} }$. Достаточное условие разложимости мероморфной в ${\textstyle \mathbb {C} }$ функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Пример: ${\textstyle (\pi \operatorname {ctg} \pi z)/z}$.

Определение. ${\textstyle f\in M(\mathbb {C} )}$, если ${\textstyle f\in O\left(\mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots \right\}\right)}$, где ${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n},\dots }$ полюсы, и их не более чем счётное число.

Примечание. В дальнейшем считаем, что ${\textstyle \left|a_{1}\right|\leq \left|a_{2}\right|\leq \left|a_{3}\right|\leq \cdots }$${\textstyle b}$

Рассмотрим функции ${\textstyle G_{n}(z)=\sum _{k=1}^{N(n)}{\frac {C_{k}^{(n)}}{\left(z-a_{k}\right)^{k}}}}$, то есть главные части рядов Лорана в полюсах ${\textstyle f(z)}$. Зададимся вопросом: верно ли, что ${\textstyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}(z)}$?

Рассмотрим случаи:

1) полюсов конечное число: ${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ (какой то из них может быть равен ${\textstyle \infty }$)

${\textstyle f(z)-\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)\in O({\overline {\mathbb {C} }})\Rightarrow f(z)-\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)\in C({\overline {\mathbb {C} }})\Rightarrow f(z)-\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)}$ ограничена на ${\textstyle \mathbb {\overline {C}} }$.

Cледовательно, по теореме Лиувилля, ${\textstyle f(z)-\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)=const}$. Мы получили, что ${\textstyle f(z)=\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)+\operatorname {const} }$.

Утверждение. ${\textstyle f\in M({\overline {\mathbb {C} }})\Rightarrow f}$ рациональная функция, и ${\textstyle f(z)=\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)+const}$

2) полюсов бесконечное число: ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },\quad a_{n}\rightarrow \infty }$

Лемма. ${\textstyle \sqsupset \gamma \subset \mathbb {C} }$ замкнутый спрямляемый жорданов контур, на котором нет ${\textstyle a_{k}}$. Тогда ${\textstyle \forall z\in Int\;\gamma }$

${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)-\sum _{m:a_{m}\in \ln t}G_{m}(z)}$

Доказательство.

${\textstyle f(z)-\sum _{m:a_{m\in Int}y}G_{m}(z)\in O(Int\;\gamma )}$

По интегральной формуле Коши:

${\textstyle f(z)-\sum _{m:a_{m}\in Int\;\gamma }G_{m}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )-\sum _{m:a_{m}\in Int\;\gamma }G_{m}(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Осталось доказать, что ${\textstyle \forall z\in Int\;\gamma }$ ${\textstyle 0={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\sum _{m:a_{m}\in \operatorname {Int} \gamma }G_{m}(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

${\textstyle {\frac {\sum _{m:a_{m}\in \operatorname {Int} \gamma }G_{m}(\xi )}{\xi -z}}}$ имеет особые точки ${\textstyle a_{m}\in \operatorname {Int} \gamma }$ и ещё точку ${\textstyle z}$.

По теореме о вычете в бесконечности:

${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\sum _{m:a_{m}\in \operatorname {Int} \gamma }G_{m}(\xi )}{\xi -z}}d\xi =-\operatorname {res} _{\infty }{\frac {\sum _{m:a_{m}\in \operatorname {Int} \gamma }G_{m}(\xi )}{\xi -z}}}$

Нам нужен коэффициент при ${\textstyle {\frac {1}{\xi }}}$ из ряда Лорана на бесконечности.

${\textstyle \forall m\quad G_{m}(\xi )={\frac {C_{-1}}{\xi }}+\cdots }$

${\textstyle {\frac {G_{m}(\xi )}{\xi -z}}={\frac {C_{-1}}{\xi ^{2}}}+\cdots }$

Получается, что коэффициент при ${\textstyle {\frac {1}{\xi }}=0}$.

Следствие. ${\textstyle \sqsupset f\in M(\mathbb {C} ),\quad \gamma _{n}}$ простые спрямляемые жордановы контуры:

а) ${\textstyle \forall n}$ на ${\textstyle \gamma _{k}}$ нет полюсов;

б) ${\textstyle \operatorname {Int} \gamma _{1}\subset \operatorname {Int} \gamma _{2}\subset \cdots ,\bigcup \operatorname {Int} \gamma _{n}=\mathbb {C} }$

в) ${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{n}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \rightrightarrows 0}$ на ${\textstyle \mathbb {C} }$

Тогда ${\textstyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}(z)\quad \forall z\in \left\{a_{1},a_{2},\ldots \right\}}$ и ряд равномерно сходится на ${\textstyle \mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},a_{2},\dots \right\}}$.

Пример. ${\textstyle {\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi z}{z}}}$

Применим следствие из леммы:

${\textstyle n=0:{\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi Z}{z}}={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {C_{-1}}{z}}+C_{0}+\cdots ,\quad C_{-1}=0}$, так как ${\textstyle {\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi z}{z}}}$ чётная функция; значит, ${\textstyle G_{0}(z)={\frac {1}{z^{2}}}}$

${\textstyle n\neq 0:\operatorname {res} _{n}{\frac {\pi \cos \pi z/z}{\sin \pi z}}={\frac {\pi \cos \pi n/n}{\pi \cos \pi n}}={\frac {1}{n}}\Rightarrow G_{n}(z)={\frac {1/n}{z-n}}}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)