Комплексный анализ I/Билеты/Мероморфные функции

Функции, мероморфные в . Достаточное условие разложимости мероморфной в функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Пример: .

править

Определение.  , если  , где   полюсы, и их не более чем счётное число.

Примечание. В дальнейшем считаем, что   

Рассмотрим функции  , то есть главные части рядов Лорана в полюсах  . Зададимся вопросом: верно ли, что  ?

Рассмотрим случаи:

1) полюсов конечное число:   (какой то из них может быть равен  )

  ограничена на  .

Cледовательно, по теореме Лиувилля,  . Мы получили, что  .

Утверждение.   рациональная функция, и  

2) полюсов бесконечное число:  

Лемма.   замкнутый спрямляемый жорданов контур, на котором нет  . Тогда  

 

Доказательство.

 

По интегральной формуле Коши:

 

Осталось доказать, что    

  имеет особые точки   и ещё точку  .

По теореме о вычете в бесконечности:

 

Нам нужен коэффициент при   из ряда Лорана на бесконечности.

 

 

Получается, что коэффициент при  .

Следствие.   простые спрямляемые жордановы контуры:

а)   на   нет полюсов;

б)  

в)   на  

Тогда   и ряд равномерно сходится на  .

Пример.  

Применим следствие из леммы:

 , так как   чётная функция; значит,  

 

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)