Определение. Путь в : .
Определение. Два пути и называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм такой, что:
Определение. Кривая в это класс эквивалентных путей (геометрический образ отрезка с выбранным направлением).
Определение. кривая, . Интегралом по кривой от функции называется следующий предел (если он существует):
Утверждение. (корректность определения)
Если для пути существует предел , то он существует и для любого другого эквивалентного пути , и эти пределы совпадают.
Доказательство. Интегральная сумма для первого пути равна .
Интегральная сумма для второго пути равна .
По определению эквивалентных путей гомеоморфизм . Перепишем вторую интегральную сумму:
Определение.
Теорема. (без доказательства)
Если спрямляема (то есть ), , то
1) , где это в противоположном направлении
2)
3) (если эти оба интеграла существуют)
4)
Доказательство.
5) если спрямляема, то
Доказательство.
6) если гладкая кривая ( ), то (R символизирует, что интеграл римановский).
Доказательство. Запишем интегральные суммы для левого и для правого интегралов:
К функциям и применим теорему Лагранжа:
В силу условия,что , при достаточно малых выражение в квадратных скобках будет меньше любого положительного , поэтому при достаточно малых :
Так как может быть сколь угодно малым, то при получаем:
7) на , спрямляемая, тогда
Доказательство.
при (по критерию равномерной сходимости), значит, при , то есть,
Пример. , где a начало , b конец .
Пример. спрямляема, с началом a и концом b.
С другой стороны,
Значит,
Пример.
Параметризуем окружность:
По шестому свойству: