Комплексный анализ I/Билеты/Определение интеграла и его свойства

Определение. Путь в : .

Определение. Два пути и называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм такой, что:

Определение. Кривая в это класс эквивалентных путей (геометрический образ отрезка с выбранным направлением).

Определение. кривая, . Интегралом по кривой от функции называется следующий предел (если он существует):

Утверждение. (корректность определения)

Если для пути существует предел , то он существует и для любого другого эквивалентного пути , и эти пределы совпадают.

Доказательство. Интегральная сумма для первого пути равна .

Интегральная сумма для второго пути равна .

По определению эквивалентных путей гомеоморфизм . Перепишем вторую интегральную сумму:

Определение.

Теорема. (без доказательства)

Если спрямляема (то есть ), , то

Свойства интеграла

править

1)  , где   это   в противоположном направлении

2)  

3)   (если эти оба интеграла существуют)

4)  

Доказательство.  

 

5) если   спрямляема, то  

Доказательство.  

 

6) если   гладкая кривая ( ), то   (R символизирует, что интеграл римановский).

Доказательство. Запишем интегральные суммы для левого и для правого интегралов:

 

К функциям   и   применим теорему Лагранжа:

 

В силу условия,что  , при достаточно малых   выражение в квадратных скобках будет меньше любого положительного  , поэтому при достаточно малых  :

 

Так как   может быть сколь угодно малым, то при   получаем:

 

7)   на  ,   спрямляемая, тогда  

Доказательство.  

  при   (по критерию равномерной сходимости), значит,   при  , то есть,  

Пример.  , где a начало  , b конец  .

Пример.   спрямляема, с началом a и концом b.

 

С другой стороны,

 

Значит,

 

Пример.  

Параметризуем окружность:  

По шестому свойству: