Комплексный анализ I/Билеты/Основные элементарные функции

Определение. – область, называется однолистной в ,если .

Определение. Область называется максимальной областью однолистности для , если:

  1. определена в и однолистна в ней;
  2. определена на и однолистна в ней.

Основные элементарные функции

править

Степенная функция

править

 

 

  максимальная область однолистности для   выполняются (1) и (2).

Пример.

 

Корень n-ой степени

править

  -значная функция.

 

Определение.   область,  ; функция   называется ветвью  ,если  .

Примечание. Не всегда можно выделить непрерывную ветвь.

Пример. У   не существует непрерывной ветви в  .

Функция Жуковского

править

 

 

 

  является областью однолистности  .

Таким образом, максимальными областями однолистности являются внутренность единичной окружности и её внешность, причём переходят они под действием функции Жуковского в одно и то же множество. Так, для любой точки   внутри единичной окружности есть точка   вне этой окружности,а  . Выясним,что это за область, например, выясним, во что перейдёт внутренность единичной окружности  :

 

 

Эти точки при фиксированном   и изменении   образуют эллипс с полуосями:

 

При приближении   к нулю   стремится к бесконечности, следовательно, так как  ,   тоже стремится к бесконечности, то есть получаются расширяющиеся эллипсы,а при приближении   к единице   стремится к нулю, то есть в пределе получается эллипс с полуосями 1 и 0, то есть отрезок  ; в итоге получается, что функция Жуковского переводит внутренность единичной окружности и её внешность во всю плоскость, кроме отрезка  .

Функция, обратная функции Жуковского

править

  двузначная функция.

 

Пример. Область, в которой у функции, обратной функции Жуковского, выделяется непрерывная ветвь:  .

Одна ветвь переводит эту область обратно во внутренность единичной окружности,а другая во внешность единичной окружности.

Экспонента

править

 

Поищем области однолистности для экспоненты:

 

Следовательно,   область однолистности для  , то есть примером максимальной области однолистности может быть любая горизонтальная бесконечная полоса высотой  , и экспонента переводит её во всю плоскость без положительного луча действительной прямой. Докажем это, рассмотрев какой-нибудь вертикальный отрезок, входящий в нашу полосу. Пусть это будет отрезок от точки   до точки  . Экспонента переведёт его в кривую, задаваемую формулой  ,где  , а это есть окружность с выколотой правой точкой радиуса  . Так как   можно выбрать от   до  , то этот радиус может меняться в пределах  , то есть эти окружности с выколотыми точками заполнят всю плоскость, кроме положительного луча действительной оси. Заметим, что из определения видно, что экспонента  -периодична.

Логарифм

править

  бесконечнозначная функция (в данном случае счётнозначная)

 

Пример. Область,в которой выделяется непрерывная ветвь:

 

Тригонометрические функции

править

 

Все тригонометрические формулы остаются верными. Вспомним гиперболические функции:

 

Видно, что гиперболические и тригонометрические функции связаны так:

 

 

 

 

Получается, область   будет максимальной областью однолистности тогда и только тогда, когда  , что для них выполнены условия 1 и 2.

Пример максимальной области однолистности:

 

Посмотрим,во что её переводит синус:

 

Докажем правильность последнего перехода. Известно,что единичный круг переходит во всю плоскость без отрезка  . Осталось понять, куда переходит отрезок  :

 

При этом   меняется в пределах  , значит,   меняется в пределах   по нижней мнимой полуоси, что и требовалось доказать.