Комплексный анализ I/Билеты/Свойства голоморфных функций

Теорема. (Лиувилль) ${\textstyle \sqsupset f\in O(\mathbb {C} )}$ (такие функции называются целыми'') и ${\textstyle \exists M:|f(z)|<M\quad \forall z\in \mathbb {C} }$. Тогда ${\textstyle f(z)\equiv const}$.

Доказательство. ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}}$, ряд сходится в ${\textstyle \mathbb {C} }$. Возьмём круг радиусом ${\textstyle R}$ с центром в 0, тогда ${\textstyle f\in O(|z|<R)}$ (по неравенству Коши) для коэфиициентов степенного ряда ${\textstyle \forall R\quad \left|C_{n}\right|\leq {\frac {M}{R^{n}}}}$, так как функция на ${\textstyle \mathbb {C} }$, а, следовательно, и на нашем круге, ограничена числом ${\textstyle M}$. При ${\textstyle n\geqslant 1}$ и при ${\textstyle R\rightarrow \infty }$ ${\textstyle {\frac {M}{R^{n}}}\rightarrow 0}$, значит, ${\textstyle C_{n}=0}$ при ${\textstyle n\geqslant 1,}$и от нашего ряда Тейлора остаётся всего лишь свободный член, то есть константа: ${\textstyle f(z)=C_{0}}$.

Теорема. (о среднем) ${\textstyle f\in O(|z-a|<R)\Rightarrow f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left(a+Re^{i\varphi }\right)d\varphi ={\frac {1}{\pi R^{2}}}\iint _{|z-a|\leq R}f(x+iy)dxdy}$

Доказательство. 1) По интегральной формуле Коши ${\textstyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R}{\frac {f(z)}{z-a}}dz}$.

Сделаем замену ${\textstyle z=a+Re^{i\varphi }}$:

${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R}{\frac {f(z)}{z-a}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(a+Re^{i\varphi }\right)}{Re^{i\varphi }}}iRe^{i\varphi }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left(a+Re^{i\varphi }\right)d\varphi }$

2) В интеграле ${\textstyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\iint _{|z-a|\leq R}f(x+iy)dxdy}$ делаем полярную замену:

${\textstyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\iint _{|z-a|\leq R}f(x+iy)dxdy={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }f\left(a+Re^{i\varphi }\right)rdrd\varphi }$

Из первого пункта получаем, что ${\textstyle \int _{0}^{2\pi }f\left(a+Re^{i\varphi }\right)d\varphi =2\pi f(a)}$

Подставим в наш интеграл:

${\textstyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi f(a)rdr={\frac {f(a)}{R^{2}}}\int _{0}^{R}2rdr={\frac {f(a)}{R^{2}}}R^{2}=f(a)}$

Теорема. (единственности) ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f,g\in O(D),\quad \left.f\right|_{E}\equiv \left.g\right|_{E}}$, множество ${\textstyle E}$ имеет предельную точку в ${\textstyle D}$. Тогда ${\textstyle \left.f\right|_{D}\equiv \left.g\right|_{D}}$.

Доказательство. ${\textstyle a}$ предельная точка для ${\textstyle E}$, ${\textstyle a\in D,z_{k}\rightarrow a,z_{k}\in E,h(z)=f(z)-g(z)}$

${\textstyle h(z)=C_{0}+C_{1}(z-a)+\cdots }$

${\textstyle h\left(z_{k}\right)=0\Rightarrow h(a)=\lim _{k\rightarrow \infty }h\left(z_{k}\right)=0\Rightarrow C_{0}=0}$

${\textstyle h(z)=C_{N}(z-a)^{N}+\cdots ,C_{N}\neq 0,N\neq 0}$ ряд Тейлора для ${\textstyle h}$ в ${\textstyle u(a)\subset D\quad }$ (${\textstyle u(a)}$ открытый шар)

${\textstyle h(z)=(z-a)^{N}\left(C_{N}+C_{N+1}(z-a)+\cdots \right)=(z-a)^{N}\varphi (z)}$, где ${\textstyle \varphi (z)\in O(u(a))}$ (по свойству степенных рядов)

${\textstyle h\left(z_{k}\right)=0=\left(z_{k}-a\right)^{N}\varphi \left(z_{k}\right)\Rightarrow \varphi \left(z_{k}\right)=0\quad \forall k}$ (так как ${\textstyle z_{k}\neq a}$)${\textstyle \quad \Rightarrow \varphi (a)=\lim _{k\rightarrow \infty }\varphi \left(z_{k}\right)=0=C_{N}}$

– противоречие; значит, в ряде Тейлора ${\textstyle h(z)}$ нет ненулевых членов, следовательно:

${\textstyle h\left.(z)\right|_{u(a)}=\left.(f(z)-g(z))\right|_{u(a)}\equiv 0\Rightarrow f\left.(z)\right|_{u(a)}\equiv g\left.(z)\right|_{u(a)}}$

${\textstyle \forall z\in D\quad \exists }$ ломаная ${\textstyle \gamma }$ с началом в ${\textstyle a}$ и концом в ${\textstyle z}$, а также набор кругов ${\textstyle \left\{u\left(a_{k},\rho \right)=u_{k}\subset D\right\}_{k=0}^{m},a_{0}=a}$, ${\textstyle a_{m}=z,a_{k+1}\subset u_{k}\quad \forall k=0,\dots ,m-1}$ (${\textstyle \rho }$ радиус кругов, ${\textstyle a_{k}}$ центры кругов)

${\textstyle h\left.(z)\right|_{u_{0}\in u(a)}\equiv 0,\quad a_{1}\in u_{0}\Rightarrow h^{(n)}(a)\equiv 0\forall n\Rightarrow h\left.(z)\right|_{u_{1}}\equiv 0}$${\textstyle \ \Rightarrow \cdots \Rightarrow h\left.(z)\right|_{u_{m}}\equiv 0\Rightarrow h(z)\equiv 0\Rightarrow }$${\textstyle f(z)\equiv g(z)}$

Остался один вопрос: почему существует такая последовательность ${\textstyle \left\{u_{k}\right\}_{k=0}^{m}}$. Докажем её существание. Возьмём ${\textstyle \rho =\inf _{Z\in \gamma \atop w\in \partial D}|z-w|}$, и, так как ${\textstyle \gamma \subset D}$, то ${\textstyle \rho >0}$ и ${\textstyle \forall z\in \gamma \quad u(z,\rho )\subset D}$

${\textstyle \left\{a_{k}\right\}_{k=0}^{m}}$ будем выбирать так: ${\textstyle a_{0}=a,a_{m}=z}$, а остальные ${\textstyle a_{k}}$ выберем так, чтобы ${\textstyle \left|a_{k}-a_{k-1}\right|<{\frac {\rho }{2}}\quad \forall k=1,\ldots ,m}$. Тогда последовательность ${\textstyle \left\{u_{k}\right\}_{k=0}^{m}=\left\{u\left(a_{k},\rho \right)\right\}_{k=0}^{m}}$ как раз нам подходит, так как ${\textstyle a_{k+1}\subset u_{k}}$ изза неравенства ${\textstyle \left|a_{k}-a_{k-1}\right|<{\frac {\rho }{2}}}$.

Теорема. (принцип максимума модуля): ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f\in O(D).\quad \exists a\in D\quad |f(a)|=\max _{z\in D}|f(z)|\Rightarrow f(z)\equiv const}$.

Доказательство. Разложим ${\textstyle f(z)}$ в ряд Тейлора в ${\textstyle a}$: ${\textstyle f(z)=C_{0}+C_{1}(z-a)+\cdots }$

Рассмотрим два случая:

1) ${\textstyle C_{0}=f(a)=0\Rightarrow \max _{z\in D}|f(z)|=|f(a)|=0\Rightarrow f(z)\equiv 0}$

2) ${\textstyle C_{0}=f(a)\neq 0\Rightarrow f(z)=C_{0}+C_{N}(z-a)^{N}+(z-a)^{N}(z-a)\varphi (z)}$, где ${\textstyle C_{N}}$ первый ненулевой коэффициент, а функция ${\textstyle \varphi (z)=C_{N+1}+C_{N+2}(z-a)+\cdots \in O(u(a))}$; ${\textstyle u(a)}$ открытый шар с центром в ${\textstyle a}$.

${\textstyle \exists \theta \in [0,2\pi )}$, то есть ${\textstyle \exists }$ направление ${\textstyle \theta :\forall r>0\forall z=a+re^{i\theta }\quad \arg \left[C_{N}(z-a)^{N}\right]=\arg f(z)}$

${\textstyle \exists r_{0}:\forall z_{0}=a+r_{0}e^{i\theta }\in u(a)}$ и ${\textstyle \left|\left(z_{0}-a\right)^{N+1}\varphi \left(z_{0}\right)\right|<{\frac {\left|C_{N}\left(z_{0}-a\right)^{N}\right|}{2}}\Leftrightarrow \left|\left(z_{0}-a\right)\varphi \left(z_{0}\right)\right|<{\frac {\left|C_{N}\right|}{2}}\Leftrightarrow }$

${\textstyle \Leftrightarrow r_{0}\left|\varphi \left(z_{0}\right)\right|<{\frac {\left|C_{N}\right|}{2}}}$ (верно при малых ${\textstyle r_{o}}$)

Если ${\textstyle r_{o}\rightarrow 0}$, то ${\textstyle \varphi \left(z_{0}\right)\rightarrow \varphi (a)\in \mathbb {C} \Rightarrow \left|f\left(z_{0}\right)\right|=}$

${\textstyle =\left|f(a)+C_{N}\left(z_{0}-a\right)^{N}+\left(z_{0}-a\right)^{N+1}\varphi \left(z_{0}\right)\right|\geq \left|f(a)+C_{N}\left(z_{0}-a\right)^{N}\right|-\left|\left(z_{0}-a\right)^{N+1}\varphi \left(z_{0}\right)\right|=}$

${\textstyle =|f(a)|+\left|C_{N}\left(z_{0}-a\right)^{N}\right|-\left|\left(z_{0}-a\right)^{N+1}\varphi \left(z_{0}\right)\right|>|f(a)|+\left|C_{N}\left(z_{0}-a\right)^{N}\right|>|f(a)|}$

Получили, что найдётся точка, в которой модуль функции больше, чем в точке ${\textstyle a}$, противоречие. Значит, что ${\textstyle \forall N\geq 1}$${\textstyle C_{N}=0\Rightarrow \left.f\right|_{u(a)}\equiv f(a)\Rightarrow }$ по теореме единственности ${\textstyle f\equiv f(a)}$

Следствие 1. (локальный принцип максимума модуля) ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f\in O(D),\exists a\in D\supset u(a)\quad |f(a)|=\max _{z\in u(a)}|f(z)|\Rightarrow f\equiv const}$

Следствие 2. (принцип минимума модуля) ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f\in O(D),\exists a\in D\supset u(a)\quad |f(a)|=\min _{z\in u(a)}|f(z)|\neq 0\Rightarrow f\equiv const}$

Доказательство. ${\textstyle {\begin{array}{l}{g(z)={\frac {1}{f(z)}}\in O(u(a))}\\{|g(a)|=\max _{z\in u(a)}|g(z)|\Rightarrow g\left.(z)\right|_{u(a)}\equiv {\text{ const }}\Rightarrow f\left.(z)\right|_{u(a)}\equiv {\text{ const }}\Rightarrow f\left.(z)\right|_{D}\equiv {\text{ const }}}\end{array}}}$(из принципа единственности)

Следствие 3. ${\textstyle \sqsupset D}$ ограниченная область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f\in O(D)\cap C({\overline {D}})\Rightarrow \exists \max _{\overline {D}}|f(z)|=\max _{\partial D}|f(z)|}$.

Следствие 4. (граничная теорема единственности): ${\textstyle \sqsupset D}$ ограниченная область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f,g\in O(D)\cap C({\overline {D}}),\left.f\right|_{\partial D}\equiv \left.g\right|_{\partial D}\Rightarrow \left.f\right|_{D}\equiv \left.g\right|_{D}}$

Isbur (обсуждение) 00:41, 26 марта 2019 (UTC)