Комплексный анализ I/Билеты/Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга.

Определение. Дробно-линейное отображение – это отображение вида:

Теорема. (свойства дробно-линейных отображений):

  1. Всякое дробно-линейное отображение есть гомеоморфизм;
  2. области образ – тоже область, и ;
  3. множество всех окружностей и прямых под действием ДЛО переходит само в себя;
  4. сохраняет ориентированные углы между гладкими кривыми;
  5. сохраняет симметрию относительно прямых и окружностей;
  6. все ДЛО образуют группу.

Доказательство.

1) Рассмотрим уравнение , :

Уравнение имеет ровно одно решение за исключением случая , то есть ;

следовательно, ;

:

  • ;
  • если , то .

.

2) Вытекает из гомеоморфности.

3) – уравнение обобщённой окружности

любое ДЛО является композицией простых ДЛО вида:

Очевидно, что (параллельный перенос) и (растяжение и поворот) сохраняют прямые и окружности;

осталось доказать для (инверсии).

, , следовательно, :

4) как мы выяснили ранее, любое ДЛО является композицией простых ДЛО вида , , .

Очевидно, что и сохраняют ориентированные углы; осталось доказать для .

Это отображение сохраняет углы, если ортогональная матрица;

и, кроме того, сохраняет ориентацию углов, если .

В нашем случае

ортогональная матрица

5)

6) {ДЛО} группа с операцией композиция,

(LFT stands for Linear Fractional Transformation – издержки LaTeX’а местного MediaWiki)

Группа некоммутативна, например:

Пример. Выясним,во что переводит единичный круг ДЛО . Сначала выясним, во что наше ДЛО переводит границу единичного круга, то есть единичную окружность; по свойству 3 ДЛО она перейдёт либо в окружность, либо в прямую; возьмём две точки на окружности: и , и посмотрим, куда они переходят:

то есть видно, что окружность переходит в прямую, так как есть точка, переходящая в бесконечность; выясним, в какую прямую: по свойству 4 ДЛО сохраняет ориентированные углы между кривыми

image

Теорема. Все ДЛО, переводящие единичный круг сам в себя, имеют вид , где , с точностью до умножения на ненулевой множитель.

Доказательство. Cначала докажем,что любое ДЛО, переводящее единичный круг в себя, представимо в виде

, где .

Пусть точка переходит в 0, тогда симметричная ей относительно единичной окружности точка переходит в бесконечность, то есть наше ДЛО имеет вид:

Возьмём точку на единичной окружности, то есть пусть , тогда и, так как она перейдёт в точку на единичной окружности, то:

Докажем обратное, что любое ДЛО вида , где , переводит единичный круг сам в себя. Возьмём точку на единичной окружности, то есть :

то есть точка на единичной окружности переходит в точку на ней же, что и требовалось доказать.

Участник:Isbur/Комплексный анализ I/Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга./Дополнение