Комплексный анализ I/Билеты/Степенные ряды

Определение. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

Теорема. (Свойства степенных рядов)

1) сходятся в во всякой точке ${\textstyle z:|z-a|<R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}$к функции ${\textstyle f(z)}$;

2) расходятся в любой точке ${\textstyle z:|z-a|<R}$

3) в точках ${\textstyle z:|z-a|=R}$ может как сходиться, так и расходиться;

4) ${\textstyle f\in O(|z-a|<R)}$

5) ${\textstyle C_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$ (то есть наш ряд это ряд Тейлора для ${\textstyle f}$).

Доказательство. 1) ${\textstyle |z-a|<R}$, значит, ${\textstyle \exists \varepsilon >0:\quad |z-a|<R-\varepsilon }$

${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}={\frac {1}{R}}<{\frac {1}{R-{\frac {\varepsilon }{2}}}}}$, значит, ${\textstyle \exists M>0}:\left|C_{n}\right|\leq {\frac {M}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}$

${\textstyle \left|\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|C_{n}\right||z-a|^{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }M{\frac {(R-\varepsilon )^{n}}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }M\left({\frac {R-\varepsilon }{R-{\frac {\varepsilon }{2}}}}\right)^{n}}$ – геометрическая прогрессия со знаменателем ${\textstyle {\frac {R-\varepsilon }{R-{\frac {\varepsilon }{2}}}}<1}$, следовательно, сходится, а значит, сходится и ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$ по признаку Вейерштрасса.

2) ${\textstyle |z-a|>R}$, значит, ${\textstyle \exists \varepsilon >0\quad |z-a|>R+\varepsilon }$

${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}={\frac {1}{R}}>{\frac {1}{R+{\frac {\varepsilon }{2}}}}}$, значит, ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}={\frac {1}{R}}>{\frac {1}{R+{\frac {\varepsilon }{2}}}}}$

${\textstyle \forall k\quad \left|C_{n_{k}}(z-a)^{n_{k}}\right|>{\frac {(R+\varepsilon )^{n_{k}}}{\left(R+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n_{k}}}}>1}$, значит, ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$ расходится из-за невыполнения необходимого признака сходимости рядов (общий член не стремится к нулю)

3) просто приведём примеры:

а) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}}$, окружность ${\textstyle |z|=1}$, все точки на этой окружности являются точками расходимости этого ряда, так как модуль общего члена этого ряда всегда равен единице и не стремится к нулю;

б) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$, окружность ${\textstyle |z|=1}$, все точки на этой окружности являются точками сходимости, так как модуль общего члена нашего ряда ограничен ${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}}$, а ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ сходится;

в) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$, окружность ${\textstyle |z|=1}$, точка 1 является точкой расходимости, так как ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ расходится, а остальные точки являются точками сходимости; докажем это. Параметризуем окружность ${\textstyle z=e^{i\varphi },\varphi \neq 2\pi k,k\in Z}$, подставим ${\textstyle z}$ в наш ряд:

${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{i\varphi n}}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos n\varphi }{n}}+i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n\varphi }{n}}}$

Ряды ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos n\varphi }{n}}}$ и ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n\varphi }{n}}}$ сходятся по признаку Дирихле: ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ монотонно стремится к нулю, а частичные суммы ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}\cos n\varphi }$ и ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}\sin n\varphi }$ ограничены.

4) ${\textstyle R>0,|z-a|<R}$ круг сходимости, ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}=f(z)}$, тогда ${\textstyle f^{\prime }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }nC_{n}(z-a)^{n-1}}$:

${\textstyle {\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}-\sum _{n=0}^{\infty }nC_{n}(z-a)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {1}{h}}\left((z+h-a)^{n}-(z-a)^{n}\right)-n(z-a)^{n-1}\right)=}$

${\textstyle =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left[\sum _{k=0}^{n-1}(z+h-a)^{k}(z-a)^{n-k-1}-n(z-a)^{n-1}\right]=}$

${\textstyle =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left[\sum _{k=0 \atop \infty }^{n-1}(z+h-a)^{k}(z-a)^{n-k-1}-\sum _{k=0}^{n-1}(z-a)^{n-1}\right]=}$

${\textstyle =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\sum _{k=0}^{n-1}(z-a)^{n-k-1}\left((z+h-a)^{k}-(z-a)^{k}\right)}$

${\textstyle =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\sum _{k=0}^{n-1}(z-a)^{n-k-1}h\left((z+h-a)^{k-1}+\cdots +(z-a)^{k-1}\right)}$

Оценим эту сумму по модулю с помощью некоторых дополнительных оценок:

${\textstyle |z-a|<R}$, значит, ${\textstyle \exists \varepsilon :|z-a|<R-\varepsilon ,|z-a+h|<R-\varepsilon }$

Так как ${\textstyle h}$ сколь угодно мало, а ${\textstyle \left|C_{n}\right|\leq {\frac {M}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}}$ в силу оценки из первого пункта нашей теоремы, значит:

${\textstyle \left|\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\sum _{k=0}^{n-1}(z-a)^{n-k-1}h\left((z+h-a)^{k-1}+\cdots +(z-a)^{k-1}\right)\right|\leq }$

${\textstyle \leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {M}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(R-\varepsilon )^{n-k-1}|h|k(R-\varepsilon )^{k-1}=M|h|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(R-\varepsilon )^{n-2}}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}k=}$

${\textstyle =M|h|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(R-\varepsilon )^{n-2}}{\left(R-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{n}}}{\frac {n(n-1)}{2}}=C(M,R,\varepsilon )|h|\rightarrow 0{\text{,}}\quad |h|\rightarrow 0}$

5) ${\textstyle f^{(k)}(z)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}\right)^{(k)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}C_{n}(z-a)^{n-k}}$

Подставим ${\textstyle z=a:f^{(k)}(a)=k!C_{k}}$, значит, ${\textstyle C_{k}={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}}$.

Утверждение. ${\textstyle f\in O}$ (гдето в окрестности точки ${\textstyle a}$), и мы раскладываем её в степенной ряд в точке ${\textstyle a}$, тогда радиус сходимости равен расстоянию от точки ${\textstyle a}$ до ближайшей к ней точки неголоморфности функции ${\textstyle f(z)}$.

Пример. ${\textstyle f(z)={\frac {1}{z^{2}+1}}\in O(\mathbb {C} \backslash \{i,-i\})}$

Из утверждения получаем, что радиус сходимости ряда Тейлора в нуле равен 1, то есть расстоянию от 0 до ${\textstyle i}$ (${\textstyle -i}$); ряд Тейлора в точке 0:

${\textstyle {\frac {1}{z^{2}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}}$

Теорема. (неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда) ${\textstyle \sqsupset f\in O(|z-a|\leq R)}$ (это значит, что ${\textstyle f}$ голоморфна в чуть большем круге); ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$, ${\textstyle M=\max _{|z-a|=R}|f(z)|}$. Тогда ${\textstyle \left|C_{n}\right|\leq {\frac {M}{R^{n}}}}$

Доказательство. ${\textstyle C_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|<R}{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\leq {\frac {1}{2\pi }}2\pi R{\frac {M}{R^{n+1}}}={\frac {M}{R^{n}}}}$

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)