Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение

Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример: .

править

Теорема.   (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка).   порядок нуля в 0. Тогда  сходится равномерно во всяком круге  .

Доказательство.  

 

 

 

 

 , значит

 

 

 

  сходится равномерно в   (по условию)

Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:

  равномерно сходится в  , значит

  равномерно сходится во всякой точке из  , а хвосты сходятся равномерно внутри  . Следовательно,  , и   те же нули, что и  , кроме, может быть, нуля.

  порядок нуля в 0. Рассмотрим  . У   нет нулей в  . Осталось показать, что  .

  голоморфна в  , так как у   нет нулей в  . Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,

 

 

 

 

Пример.  

 

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)