Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Миттаг-Леффлера

Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Теорема Миттаг-Леффлера.

править

Теорема.   с полюсами в   и главными частями рядов Лорана   такая   и такие многочлены  , и хвост этого ряда сходится равномерно внутри  .

Доказательство.  

 

в качестве   берём такой начальный кусочек ряда Тейлора   в 0, что

 

Тогда на круге  

 

Так как этот хвост сходится равномерно на этом круге, то   сходится равномерно на  , и хвосты ряда сходятся равномерно;  

Теорема. (Миттаг-Леффлер)  

  имеет полюсы именно в   и в них её главные части рядов Лорана равны именно  .

Доказательство.

 

Возьмём   как в предыдущей теоремет – начальный кусочек ряда Тейлора:

 

  сходится в  , хвосты сходятся равномерно внутри   (по теореме Вейерштрасса).

Значит,   искомая функция.

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)