Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Миттаг-Леффлера

Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Теорема Миттаг-Леффлера.

Теорема. ${\textstyle \forall f(z)\in M(\mathbb {C} )}$ с полюсами в ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ и главными частями рядов Лорана ${\textstyle \left\{G_{n}(z)\right\}_{n=1}^{\infty }\quad \exists }$ такая ${\textstyle g\in O(\mathbb {C} )}$ и такие многочлены ${\textstyle P_{n}(z):f(z)=g(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(G_{n}(z)-P_{n}(z)\right)}$, и хвост этого ряда сходится равномерно внутри ${\textstyle \mathbb {C} }$.

Доказательство. ${\textstyle a_{n}\rightarrow \infty \quad \left(\left|a_{1}\right|\leq \left|a_{2}\right|\leq \left|a_{3}\right|\leq \cdots \right)}$

${\textstyle G_{n}(z)\in O\left(|z|<{\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}\right)}$

в качестве ${\textstyle P_{n}(z)}$ берём такой начальный кусочек ряда Тейлора ${\textstyle G_{n}(Z)}$ в 0, что

${\textstyle \left\Vert G_{n}(z)-P_{n}(z)\right\Vert _{C\left(|z|\leq {\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}\right)}\leq {\frac {1}{2^{n}}}}$

Тогда на круге ${\textstyle |z|\leq {\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}}$

${\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }\left(G_{n}(z)-P_{n}(z)\right)\leq {\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k+1}}}+\cdots }$

Так как этот хвост сходится равномерно на этом круге, то ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(G_{n}(z)-P_{n}(z)\right)}$ сходится равномерно на ${\textstyle \mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},a_{2},\ldots \right\}}$, и хвосты ряда сходятся равномерно; ${\textstyle g(z)=f(z)-\sum _{n=1}^{\infty }\left(G_{n}(z)-P_{n}(z)\right)}$

Теорема. (Миттаг-Леффлер) ${\textstyle \forall \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }:a_{n}\rightarrow \infty \;\wedge \;\forall G_{n}(z)=\sum _{k=1}^{N_{n}}{\frac {C_{k}^{(n)}}{\left(z-a_{n}\right)^{k}}}}$

${\textstyle \exists f(z)\in M(\mathbb {C} ):f(z)}$ имеет полюсы именно в ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ и в них её главные части рядов Лорана равны именно ${\textstyle G_{n}(z)}$.

Доказательство.

${\textstyle \left|a_{1}\right|\leq \left|a_{2}\right|\leq \left|a_{3}\right|\leq \cdots }$

Возьмём ${\textstyle P_{n}(z)}$ как в предыдущей теоремет – начальный кусочек ряда Тейлора:

${\textstyle \left\Vert G_{n}(z)-P_{n}(z)\right\Vert _{C\left(|z|\leq {\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}\right)}\leq {\frac {1}{2^{n}}}}$

${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }G_{n}(z)-P_{n}(z)}$ сходится в ${\textstyle \mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},a_{2},\ldots \right\}}$, хвосты сходятся равномерно внутри ${\textstyle \mathbb {C} }$ (по теореме Вейерштрасса).

Значит, ${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}(z)-P_{n}(z)}$ искомая функция.

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)