Комплексный анализ I/Билеты/Теоремы Рунге

Теорема. (первая теорема Рунгe) ${\textstyle \sqsupset K\in \mathbb {C} \quad f\in O(K)}$ (то есть ${\textstyle f\in O(u)}$, ${\textstyle u}$ открытое множество, содержащее ${\textstyle K}$). Тогда ${\textstyle \forall \varepsilon >0\exists R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ – рациональная функция такая, что ${\textstyle \|f-R\|_{C(K)}<\varepsilon }$, и полюсы ${\textstyle R}$ (то есть нули ${\textstyle Q}$) можно соединить с ${\textstyle \mathbb {C\backslash } u}$ непрерывными кривыми, не пересекающими ${\textstyle K}$.

Доказательство. ${\textstyle \forall z\in K\exists V(z)\subset u\quad \{V(z)\}_{z\in u}}$ открытое покрытие ${\textstyle K}$${\textstyle \Rightarrow \exists }$ конечное подпокрытие ${\textstyle \left\{V\left(z_{1}\right),\ldots ,V\left(z_{n}\right)\right\}}$.

${\textstyle \partial \left(V\left(z_{1}\right)\cup \ldots \cup V\left(z_{n}\right)\right)=\bigcup _{j=1}^{m}\Gamma _{j}}$ составной жорданов кусочногладкий контур

${\textstyle K\subset \bigcup _{j=1}^{m}\operatorname {Int} \Gamma _{j}\Rightarrow \forall z\in Kf(z)=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{j}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Пусть ${\textstyle \gamma _{k}}$ простые жордановы контуры, образующие ${\textstyle \Gamma _{j}}$, тогда

${\textstyle R(z)=\sum _{k=1}^{l}{\frac {1}{2\pi i}}\sum _{v=1}^{n}{\frac {f\left(\xi _{v}\right)}{\xi _{v}-z}}\left(\xi _{v}-\xi _{v-1}\right)}$

В этой сумме можно не писать интегральные суммы по ${\textstyle \gamma _{k}}$, являющимся внутренними контурами некоторого ${\textstyle \Gamma _{j}}$ и внутренность которых лежит в ${\textstyle u}$: ${\textstyle \int _{\gamma _{k}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}$, так как ${\textstyle z\notin \operatorname {Int} \gamma _{k}}$, ${\textstyle f\in O\left(\operatorname {Int} \gamma _{k}\right)}$, ${\textstyle \xi _{v}}$ точки разбиения ${\textstyle \gamma _{k}}$.

Также ${\textstyle f(z)=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{2\pi i}}\sum _{k=1}^{l}\int _{\gamma _{k}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Обозначим через ${\textstyle \Delta _{vk}}$ дугу ${\textstyle \gamma _{k}}$ от точки ${\textstyle \xi _{v-1}}$ до точки ${\textstyle \xi _{v}}$.

Оценим разность слагаемых из суммы для ${\textstyle R}$ и для ${\textstyle f}$.

${\textstyle \int _{\gamma _{k}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\sum _{v=1}^{n}{\frac {f\left(\xi _{v}\right)}{\xi _{v}-z}}\left(\xi _{v}-\xi _{v-1}\right)=\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}{\frac {f\left(\xi _{v}\right)}{\xi _{v}-z}}d\xi =}$

${\textstyle =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )}{\xi -z}}-{\frac {f\left(\xi _{v}\right)}{\xi _{v}-z}}\right)d\xi =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )\left(\xi _{v}-z\right)-f\left(\xi _{v}\right)(\xi -z)}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi =}$

${\textstyle =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )\xi _{v}-f(\xi )z-f\left(\xi _{v}\right)\xi +f\left(\xi _{v}\right)z}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )\xi _{v}-f\left(\xi _{v}\right)\xi +z\left(f\left(\xi _{v}\right)-f(\xi )\right)}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi =}$

${\textstyle =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{yk}}\left({\frac {f(\xi )\xi _{v}-f\left(\xi _{v}\right)\xi +z\left(f\left(\xi _{v}\right)-f(\xi )\right)}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi =}$

${\textstyle =\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )\left(\xi _{v}-\xi \right)+\xi \left(f(\xi )-f\left(\xi _{v}\right)\right)+z\left(f\left(\xi _{v}\right)-f(\xi )\right)}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi }$

${\textstyle \rho =\rho \left(\gamma _{k},K\right)=\inf _{\xi \in Y_{k} \atop z\in K}|\xi -z|>0}$

${\textstyle \left|\xi _{v}-z\right|>\rho ,\quad |\xi -z|>\rho }$

разбиение: ${\textstyle \left|\Delta _{vk}\right|<\delta \quad \forall v}$

${\textstyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall \xi ,z\in {\overline {\cup V\left(z_{j}\right)}}:|\xi -z|<\delta \Rightarrow |f(\xi )-f(z)|<\varepsilon }$ (из за равномерной непрерывности на компакте ${\textstyle {\overline {\cup V\left(z_{j}\right)}}}$)

${\textstyle \forall z\in {\overline {\cup V\left(z_{j}\right)}}\quad |z|<M_{Z}\quad |f(z)|<M_{f}}$

${\textstyle \left|\sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left({\frac {f(\xi )\left(\xi _{v}-\xi \right)+\xi \left(f(\xi )-f\left(\xi _{v}\right)\right)+z\left(f\left(\xi _{v}\right)-f(\xi )\right)}{(\xi -z)\left(\xi _{v}-z\right)}}\right)d\xi \right|\leq }$

${\textstyle \leq \sum _{v=1}^{n}\int _{\Delta _{vk}}\left|\Delta _{vk}\right|{\frac {M_{f}\delta +M_{z}\varepsilon +M_{z}\varepsilon }{\rho ^{2}}}d\xi ={\frac {M_{f}\delta +2M_{z}\varepsilon }{\rho ^{2}}}\left|\gamma _{k}\right|}$

Следовательно,

${\textstyle |f(z)-R(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M_{f}\delta +2M_{z}\varepsilon }{\rho ^{2}}}\sum \left|\gamma _{k}\right|}$

Введём дополнительное условие ${\textstyle \delta <\varepsilon }$:

${\textstyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M_{f}\delta +2M_{z}\varepsilon }{\rho ^{2}}}\sum \left|\gamma _{k}\right|\leq \left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {M_{f}+2M_{z}}{\rho ^{2}}}\sum \left|\gamma _{k}\right|\right)\varepsilon }$

Полюсы ${\textstyle R(z)}$ точки ${\textstyle \xi _{v}\in \gamma _{k}}$ – можно соединить непрерывными кривыми, не пересекающими ${\textstyle K}$, с ${\textstyle \mathbb {C\backslash } u}$.

Лемма. (о выводе полюсов) ${\textstyle \sqsupset K\subset \mathbb {C} }$, ${\textstyle \gamma }$ кривая с началом ${\textstyle a}$ и концом ${\textstyle b}$, ${\textstyle \gamma \cap K=\emptyset }$.

${\textstyle \Rightarrow }$ функция ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {C_{k}}{(z-b)^{k}}}}$.

Доказательство.

${\textstyle \rho =\rho (\gamma ,K)>0}$

Возьмём разбиение ${\textstyle \gamma :a=a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}=b:\left|a_{k}-a_{k+1}\right|<{\frac {\rho }{2}}\quad \forall k}$

${\textstyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z-a_{1}+\left(a_{1}-a\right)}}={\frac {1}{z-a_{1}}}{\frac {1}{1+{\frac {a_{1}-a}{z-a_{1}}}}};\quad \left|z-a_{1}\right|\geq \rho ,\left|a_{1}-a\right|<{\frac {\rho }{2}}}$,

значит:

${\textstyle {\frac {1}{z-a_{1}}}{\frac {1}{1+{\frac {a_{1}-a}{z-a_{1}}}}}={\frac {1}{z-a_{1}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a_{1}-a}{z-a_{1}}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(a_{1}-a\right)^{n}}{\left(z-a_{1}\right)^{n+1}}}}$ ряд сходится равномерно на ${\textstyle K}$

Таким образом, ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {C_{k}}{\left(z-a_{1}\right)^{k}}}}$;

аналогично, ${\textstyle {\frac {1}{z-a_{1}}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {S_{k}}{\left(z-a_{2}\right)^{k}}}}$;

значит, ${\textstyle {\frac {1}{\left(z-a_{1}\right)^{k}}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {S_{k}}{\left(z-a_{2}\right)^{k}}}}$;

значит, ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {S_{k}}{\left(z-a_{2}\right)^{k}}}}$;

Рассуждая аналогично, можно доказать, что ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {S_{k}}{\left(z-a_{3}\right)^{k}}}}$, и так далее. В итоге, за конечное число шагов дойдём до того,что ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {S_{k}}{\left(z-b\right)^{k}}}}$.

Следствие 1. В первой теореме Рунге полюсы приближающих рациональных функций можно брать и вне ${\textstyle u}$.

Доказательство. Следует из второй части теоремы Рунге и леммы.

Следствие 2. ${\textstyle \forall D\subset \mathbb {C} ,D}$ область, ${\textstyle \forall f\in O(D)\quad \exists \left\{R_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },\quad R_{n}\in O(D),\quad R_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$ (${\textstyle R_{n}}$ рациональные функции).

Доказательство. Берём ${\textstyle \left\{K_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ набор компактов, исчерпывающих ${\textstyle D}$: ${\textstyle K_{n}=\left\{z\in D:|z|\leq n,\rho (z,\partial D)\geq {\frac {1}{n}}\right\}}$

Из следствия 1 ${\textstyle \exists }$ рациональные функции ${\textstyle \left\{R_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }:\left\Vert f-R_{n}\right\Vert <{\frac {1}{n}}}$ и полюсы ${\textstyle R_{n}}$ лежат вне ${\textstyle D}$. Следовательно, ${\textstyle R_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$.

Следствие 3. (философское): ${\textstyle O(D)}$ сепарабельное полное метрическое пространство.

Определение. Сепарабельное множество множество, в котором есть счётное всюду плотное подмножество.

Доказательство. ${\textstyle P(z)=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{j_{k}}{\frac {c_{kj}}{\left(z-a_{k}\right)^{j}}}+b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{m}z^{m}}$

Все ${\textstyle a_{k}}$ не лежат в ${\textstyle D}$, все ${\textstyle c_{kj},b_{k},a_{k}}$ имеют рациональноые действительную и мнимую части. Раз все ${\textstyle a_{k}}$ не лежат в ${\textstyle D}$, ${\textstyle R\in O(D)}$. Такие ${\textstyle R(z)}$ плотны в ${\textstyle O(D)}$ в силу следствия 2.

Теорема. (вторая теорема Рунге) ${\textstyle K\subset \mathbb {C} ,\;\mathbb {C} \backslash K}$ связно, (то есть в ${\textstyle K}$ нет дырок), ${\textstyle f\in O(K)}$, то есть ${\textstyle f\in O(u),u}$ - открытое множество, содержащее $K$.

${\textstyle \Rightarrow \forall \varepsilon >0\quad \exists P(z)}$ - многочлен такой, что ${\textstyle \|f-P\|_{C(K)}<\varepsilon }$.

Доказательство по первой теореме Рунге, точнее, из первого следствия из неё, ${\textstyle \exists R(z)}$ рациональная функция с полюсами вне ${\textstyle u:\|f-R\|_{C(K)}<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Возьмём ${\textstyle V}$ огромный круг с центром в нуле, содержащий все полюсы и ${\textstyle u}$. ${\textstyle a}$ не лежит в ${\textstyle V}$; по лемме о выводе полюсов ${\textstyle \exists {\widetilde {R}}}$ с полюсом в точке ${\textstyle a}$:${\textstyle \|R-{\tilde {R}}\|_{C(K)}<{\frac {\varepsilon }{4}},{\tilde {R}}\in O(V)}$

Пусть ${\textstyle P}$ частичная сумма ряда Тейлора для ${\textstyle {\widetilde {R}}_{\mathrm {} }b\ V}$ такая, что ${\textstyle \|P-{\tilde {R}}\|_{C(K)}<{\frac {\varepsilon }{4}}}$

${\textstyle \|f-P\|_{C(K)}\leq \|f-R\|_{C(K)}+\|R-{\tilde {R}}\|_{C(K)}+\|P-{\tilde {R}}\|_{C(K)}<\varepsilon }$

Следствие. ${\textstyle D}$ односвязная область, ${\textstyle f\in O(D)}$, тогда ${\textstyle \exists \left\{P_{n}(z)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ последовательность многочленов, что ${\textstyle P_{n}(z)\Rightarrow f}$ внутри ${\textstyle D}$.

Доказательство. односвязную область ${\textstyle D}$ можно исчерпать компактами. ${\textstyle K_{n}=\left\{z\in D:|z|\leq n,\rho (z,\partial D)\geq {\frac {1}{n}}\right\}}$ ${\textstyle \mathbb {C} \backslash K}$ связны,по второй теореме Рунге ${\textstyle \exists P_{n}(z)}$ – ${\textstyle \left\Vert f-P_{n}\right\Vert _{C\left(K_{n}\right)}<{\frac {1}{n}}}$ ${\textstyle \Rightarrow P_{n}(z)\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)