Конспект по математической статистике/Курилова

Литература Автор: Никитина Н.Ш. "Математическая статистика для экономистов". - Москва - Новосибирск : ИНФРА-М - НГТУ, 2001

Общие сведения

Математическая статистика-это часть прикладной математической дисциплины "Теория вероятности и математическая статистика", которая изучает случайные явления, исследует одинаковые с теорией вероятностей методы и понятия и основана на аксиоматике А.Н.Холмогорова.

Исследования поведения объекта или явления обычно осуществляется на основе изучения статистических данных-наблюдений и измерений.Поэтому первой задачей математической статистики является определение способа сбора и группировки статистической информации. Вторая задача математической сатистики состоит в разработке методов анализа статистических данных, адекватных целям исследования.

Теория вероятностей	Математическая статистика
1. Модель, описывающая изучаемое явление или объект, известна априори(до опыта).Есть сведения обо всей генеральной совокупности, описывающей исследуемое явление. 2. Используемый математический аппарат не зависит от предметной области. 3. Выводы о поведении исследуемого объекта или явления делаются по всей генеральной совокупности.	1. Модель, описывающая исследуемое явление, априори неизвестна. 2. Для определения модели можно проводить пробные испытания (сформировать аыборку из генеральной совокупности) 3. Иногда модель может быть задана априори с точностью до известных параметров. 4. Значения неизвестных параметров модели могут быть приближенно получены по выборке из генеральной совокупности. 5. Выводы о поведении объекта или явления делаются по выборке ограниченного объёма и распространяются на всю генеральную совокупность.

Генеральная совокупность-все мыслимые значения (измерения, набдюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления.

Выборка из генеральной совокупности - ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объёмом выборки.

Материальные объекты. Их вероятностная природа

Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и сатистические (стохастические).

Детерминированные законы - это те, для которых характерно наличие причинной обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр.), т.е. все те, которые не имеют вероятностной природы.

Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неодназначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры , или явления макромира - положение электрона в электронной оболочке ("электронное облако") и др.

Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем.

Именно поэтому математическая статистика становится всё более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений.

Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями

Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупнённых этапов.

Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2.

                                                              Таблица 2

Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями

Название этапа	Содержание этапа	Применяемые методы
1. Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности)	Анализ объёма выборки, засоренности выборки, независимости элементов выборки	Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистичеких гипотез, формирование требований к условиям проведения эксперимента)
2. Оценивание характеристик случайных величин	Точечное и интервальное оценивание числовых и функционных характеристик	Методы непараметрического оценивания (как правило, при объёме выборки n < 60), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объёме выборки n ≥ 60)
3. Описание эмпирических данных вероятностными моделями (задачи аппроксимации)	Выбор типа модели, описывающей эмпирические данные	Методы упорядочения моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели)
4. Оценивание неизвестных параметров модели	Точечное и интервальное оценивание параметров	Методы интервального и точечного оценивания параметров модели (моментов, максимального правдоподобия и пр.)
5. Проверка гипотез о согласии модели и эмпирического распределения	Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения	Методы проверки гипотез о согласии (χ² - Пирсона, Колмогорова - Смирнова,w² - Мизеса и пр.)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Структура главы "Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода" представлена на рис. 2.

Цели

Иметь представление:

- об основных задачах математической статистики (МС);

- этапах статистической обработки эмпирических данных.

Знать и уметь различать понятия:

- малая, большая и репрезентативная выборки;

- формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд);

- функционные и числовые характеристики случайных величин;

- точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины;

- характеристики положения, рассеяния, формы распределения;

- характеристики порядковых статистик.

Уметь:

- получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили, размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной величины;

- строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот.