Конспект по математической статистике/Тер-Антонян
литература:Никитина Н.Ш."Математическая статистика для экономистов".-Москва-Новосибирск:ИНФРА-М-НГТУ,2001
Авторская работа Автор: Тер-Антонян М.З. Руководитель: канд.ф.-м.н. Вакуленко Ю.А. Работа не имеет рецензии.
|
Математическая статистика-это часть прикладной математической дисциплины "Теория вероятности и математическая статистика",которая изучает случайные явления,используя одинаковые с теорией вероятности методы и понятия. Исследуя поведения объектов или явления обычно осуществляются на основе изучения статистических данных:наблюдений и измерений,поэтому первой задачей математической статистики является определение способов сбора и группировки статистической информации.Вторая задача математической статистики состоит в разработке методов анализа,адекватных целям исследования. Таким образом,задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора,систематизации и обработки статистических данных для их удобного представления,интерпретации и формулирования научных и практических выводов.
Характеристика областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики
теория вероятностей | математическая статистика |
---|---|
1.Модель,описывающая изучаемое
явление или объект известна априори(до опыта). Есть сведения обо всей генеральной совокупно- сти,описывающей исследуемое явление. 2.Используемый математический аппарат не зависит от предметной области. 3.Выводы о поведении исследуемого объекта или явления делаются по всей генеральной совокупности. |
1.Модель,описывающая исследуемое явление,априори неизвестна
2.Для определения модели можно проводить пробные испытания(сформировать выборку из генеральной совокупности) |
2. Материальные объекты.Их вероятностная природа
Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и статистические (стохастические). Детерминированные законы — это те,для которых характерно наличие причиной обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр), т. е. все те, которые не имеют вероятностной природы.
Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неоднозначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры, или явления микромира — положение электрона в электронной оболочке ("электронное облако") и др. Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем. Именно поэтому математическая статистика становится все более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования, состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений.
3. Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями.
Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупненных этапов. Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2. - Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями
Название этапа | Содержание
этапа |
Применяемые
методы |
---|---|---|
1.Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности) | Анализ объема выборки, засоренности
выборки, независимости элементов выборки |
Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистических гипотез, формирование требований к условиям проведения эксперимента) |
2, Оценивание характеристик случайных величин | Точечное и интервальное оценивание числовых и функционных характеристик | Методы непараметрического оценивания (как правило, при объеме выборки ), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объеме выборки ) |
З. Описание эмпирических данных
вероятностными моделями (задачи аппроксимации) |
Выбор типа модели, описывающей эмпирические данные | Методы упорядочения моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели) |
4. Оценивание неиэвестных параметров модели | Точечное и интервальное оценивание параметров | Методы интервального и точечного оценивания параметров модели (моментов , максимального правдоподобия и пр.) |
5. Проверка гипотез
о согласии модели и эмпирического рас- пределения |
Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения | Методы проверки гипотез о согласии (χ 2-Пирсона, Кодмогорова —Смирнова,
ω2-Мизеса и пр.) |
1. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Структура главы "Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода" представлена на рис. 2. Цели Иметь представление:
- об основных задачах математической статистики (МС);
- этапах статистической обработки эмпирических данных,
Знать и уметь различать понятии:
- малая, большая и репрезентативная выборки;
- формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд);
- функционные и числовые характеристики случайных величин
- точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины;
характеристики положения, рассеяния, формы распределения; характеристики порядковых статистик. Уметь:
- получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной Величины;
- строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот.
Рис. 2. Структура раздела "Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода»
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов N( i = ).Допустим, что каждому объекту i соответствует значение .Согласно данному ранее определению, совокупность
возможных значений (теоретически домысливаемых) N объектов называется генеральной совокупностью,а N — объёмом генеральной совокупности.Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной.Пусть количество реально наблюдаемых объектов из N равно n.Тогда , i = — выборка из генеральной совокупности,n-объём выборки.
Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами:
- каждый элемент выбран случайно ;
- все имеют одинаковую вероятность попасть в пробку;
- должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выработка должна быть репрезентативной, представительной)
В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами.
Принято считать, что при выборка большая, или репрезентативная, а при
- малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные товары используют разное пограничное , делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.
Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с её объёмом n.Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления,объёма генеральной совокупности,трудоёмкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки.
Возможны ситуации,когда генеральная совокупность мала.Например,исследуется время наработки до отказа уникального оборудования,когда в эксплуатации находится заведомо малое количество его экземпляров(N).Доступного для исследования оборудования(n) может быть ещё меньше.Поэтому выборка объёмом n,близким к объёму генеральной совокупности N,может считаться репрезентативной и одновременно малой (n<60)