Кривые второго порядка

Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой аффинной системе координат на плоскости уравнением второй степени:

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

$a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{1}x+2a_{2}y+a_{0}=0$

Эллипс, гипербола и парабола

Геометрическое определение

Эллипсом называют геометрическое место точек $X$, для которых сумма расстояний до двух заданных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (называемых фокусами) равна заданному числу, большему, чем расстояние между фокусами.

$|F_{1}X|+|F_{2}X|=2a,\quad |F_{1}F_{2}|=2c<2a$

Гиперболой называют геометрическое место точек $X$, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (также называемых фокусами) равна заданному числу, меньшему, чем расстояние между фокусами.

$\left||F_{1}X|-|F_{2}X|\right|=2a,\quad |F_{1}F_{2}|=2c>2a$

Параболой называют геометрическое место точек $X$, равноудаленных от данной точки $F$ (называемой фокусом) и прямой $d$ (называемой директрисой).

$|FX|=\varrho (X,d)$

Здесь $\varrho (X,d)$ — функция, вычисляющая расстояние от точки до прямой.

Теорема. Сечение прямого кругового бесконечного в обе стороны конуса плоскостью, не проходящей через вершину, является или эллипсом, или гиперболой, или параболой. При этом, указанная плоскость может располагаться тремя способами:

1. пересекать одну половину конуса, в этом случае получается эллипс;
2. пересекать обе половины конуса, в этом случае получается гипербола;
3. быть параллельной образующей конуса, в этом случае получается парабола.

Доказательство. Для доказательства будем использовать шары Данделена — шары, вписанные в конус и касающиеся плоскости. Введем обозначения

• $S$ — вершина конуса;
• $\pi$ — секущая плоскость;
• $c$ — сечение конуса с плоскостью;
• $F_{1},F_{2}$ — точки касания шаров с плоскостью;
• $c_{1},c_{2}$ — окружности касания шаров с конусом;
• $X$ — произвольная точка на сечении $c$;
• $X_{1},X_{2}$ — точки пересечения прямой $SX$ с окружностями $c_{1},c_{2}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Эллипс. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

$|XF_{1}|=|XX_{1}|,\quad |XF_{2}|=|XX_{2}|,$

$|XF_{1}|+|XF_{2}|=|XX_{1}|+|XX_{2}|=|X_{1}X_{2}|=\mathrm {const}$

Таким образом, сечение $c$ по определению является эллипсом.

Гипербола. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

$|XF_{1}|=|XX_{1}|,\quad |XF_{2}|=|XX_{2}|,$

$\left||XF_{1}|-|XF_{2}|\right|=\left||XX_{1}|-|XX_{2}|\right|=|X_{1}X_{2}|=\mathrm {const}$

Таким образом, сечение $c$ по определению является гиперболой.

Парабола. В этом случае шар Данделена один. Пусть $\pi _{1}$ — плоскость, содержащая окружность $c_{1}$, прямая $d$ — пересечение плоскостей $\pi$ и $\pi _{1}$, точка $Y$ — прямоугольная проекция точки $X$ на прямую $d$, точка $Y_{1}$ — точка пересечения $SX$ с $c_{1}$.

$SY_{1}$ наклонена к плоскости $\pi _{1}$ под углом ${\tfrac {\pi }{2}}-\alpha$, где $\alpha$ — угол между образующей конуса и его осью. С другой стороны, $XY$ параллельна той образующей конуса, которая параллельна плоскость $\pi$. Значит, она образует с плоскостью $\pi _{1}$ также угол ${\tfrac {\pi }{2}}-\alpha$. Значит, $|XY_{1}|=|XY|$ как наклонные к плоскости $\pi _{1}$ под одним углом.

Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому $|XF_{1}|=|XY_{1}|$.

$|XF_{1}|=|XY|$

Таким образом, сечение $c$ по определению является параболой. $\Box$

В соответствии с этой теоремой эллипс, гиперболу и параболу называют кониками.

Аналитические определения коник

Эллипс

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

Тогда геометрическое определение перепишется в виде

$|\mathbf {r} _{1}|+|\mathbf {r} _{2}|=2a,\quad |\mathbf {r} _{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}},\quad |\mathbf {r} _{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x-c)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$

$a^{2}-cx=a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$

$a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}-2a^{2}cx+a^{2}y^{2}$

$a^{4}-a^{2}c^{2}=(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad {\text{where}}\;b^{2}=a^{2}-c^{2}$

(1)

Таким образом, координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению (1).

Обратное утверждение. Пусть координаты точки $(x,y)$ удовлетворяют уравнению (1), то есть

$y^{2}=b^{2}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}$

Тогда расстояние от этой точки до первого фокуса

${\begin{aligned}|\mathbf {r} _{1}|&={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+2cx+c^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}}=\\&={\sqrt {{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}x^{2}+2cx+c^{2}+b^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x^{2}+2cx+a^{2}}}=\\&=\left|{\frac {c}{a}}x+a\right|=a+{\frac {c}{a}}x\end{aligned}}$

Выражение под знаком модуля положительно, так как $|x|\leq a\Rightarrow \left|{\tfrac {c}{a}}x\right|\leq c<a$.

Аналогично, $|\mathbf {r} _{2}|=a-{\frac {c}{a}}x$.

$|\mathbf {r} _{1}|+|\mathbf {r} _{2}|=2a$

таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (1), принадлежат эллипсу.

Уравнение (1) называют каноническим уравнением эллипса.

Гипербола

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

Тогда, аналогично эллипсу, упрощая геометрическое определение, получим

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad {\text{где}}\;b^{2}=c^{2}-a^{2}$

(2)

Таким образом, координаты точек гиперболы удовлетворяют уравнению (2).

Для доказательства обратного утверждения проведем рассуждения, аналогичные случаю эллипса и получим

$|\mathbf {r} _{1}|=\left|a+{\frac {c}{a}}x\right|,\;|\mathbf {r} _{2}|=\left|a-{\frac {c}{a}}x\right|$

При $x>0$

$|\mathbf {r} _{1}|=a+{\frac {c}{a}}x,\;|\mathbf {r} _{2}|=-a+{\frac {c}{a}}x$

При $x<0$

$|\mathbf {r} _{1}|=-a+{\frac {c}{a}}x,\;|\mathbf {r} _{2}|=a-{\frac {c}{a}}x$

Таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (2), принадлежат гиперболе.

Парабола

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы $p$.

Тогда геометрическое определение примет вид

${\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}=x+{\frac {p}{2}}$

$x^{2}-px+{\frac {p^{2}}{4}}+y^{2}=x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}$

$y^{2}=2px$

(3)

Таким образом, координаты точек параболы удовлетворяют уравнению (3).

Обратное рассуждение. Обозначим через $d$ прямую $y=-p/2$, а через $F$ — точку $(p/2,0)$. Для произвольной точки $X(x,y)$ кривой $y^{2}=2px$ имеем

$\varrho (X,d)={\frac {p}{2}}+x$

$\varrho (X,F)={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+2px}}=\left|x+{\frac {p}{2}}\right|=x+{\frac {p}{2}}$

Последнее равенство верно, так как $x=y^{2}/{2p}\geq 0$.

Поскольку для точек, удовлетворяющих уравнению (3), расстояние до точки $F$ равно расстоянию до прямой $d$, то это уравнение описывает параболу.

Уравнение (3) называют каноническим уравнением параболы.

Общая теория кривых второго порядка

Канонические уравнения

Кривые второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением

$F(x,y)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{1}x+2a_{2}y+a_{0}=0$

(4)

Это уравнение можно преобразовать к матричному виду

$a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{1}x+2a_{2}y+a_{0}={\begin{bmatrix}x\ y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\ a_{12}\\a_{12}\ a_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+2{\begin{bmatrix}a_{1}\ a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+a_{0}={\begin{bmatrix}x\ y\ 1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\ a_{12}\ a_{1}\\a_{12}\ a_{22}\ a_{2}\\a_{1}\ a_{2}\ a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}$

Теорема. Для любой кривой существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих видов (называемых каноническими уравнениями):

1. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, эллипс;
2. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$, мнимый эллипс;
3. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$, пара пересекающихся мнимых прямых;
4. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, гипербола;
5. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$, пара пересекающихся прямых;
6. $y^{2}=2px$, парабола;
7. $y^{2}-a^{2}=0,\quad a>0$, пара параллельных прямых;
8. $y^{2}+a^{2}=0,\quad a>0$, пара параллельных мнимых прямых;
9. $y^{2}=0$, пара совпадающих прямых.

Доказательство. Для доказательства покажем как привести общее уравнение (4) кривой к каноническому виду.

Лемма. Подходящим поворотом осей координат можно добиться того, что $a'_{12}=0$. Штрих означает коэффициент уравнения в новой системе координат.

Доказательство (леммы). Если $a_{12}=0$, поворот не требуется. В противном случае, рассмотрим произвольный поворот

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi \ -\sin \varphi \\\sin \varphi \ \cos \varphi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\ y'\end{bmatrix}}$

Тогда

${\begin{aligned}F'(x',y')&=F\left(x(x',y'),y(x',y')\right)=\\&=a_{11}(\cos \varphi x'-\sin \varphi y')^{2}+2a_{12}(\cos \varphi x'-\sin \varphi y')(\sin \varphi x'+\cos \varphi y')+a_{22}(\sin \varphi x'+\cos \varphi y')^{2}+2a_{1}(\cos \varphi x'-\sin \varphi y')+2a_{2}(\sin \varphi x'+\cos \varphi y')+a_{0}\end{aligned}}$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых можно найти коэффициент при $2x'y'$, то есть $a'_{12}$:

$a'_{12}=-a_{11}\cos \varphi \sin \varphi +a_{12}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )+a_{22}\cos \varphi \sin \varphi =(a_{22}-a{11}{\frac {\sin 2\varphi }{2}}+a_{12}\cos 2\varphi$

$a'_{12}=0\Rightarrow \mathrm {ctg} \,2\varphi ={\frac {a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}}$

Поскольку $a_{12}\neq 0$, то задача разрешима. В повернутой системе координат уравнение кривой примет вид

$F'(x',y')=\lambda _{1}x'^{2}+\lambda _{2}y'^{2}+2b_{1}x'+2b_{2}y'+b_{0}=0\qquad {}^{\Box }$

(∗)

Лемма. Многочлен вида (∗) параллельным переносом приводится к одному из следующих видов:

1. $F''=\lambda _{1}(x'')^{2}+\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \qquad (\lambda _{1},\lambda _{2}\neq 0)$
2. $F''=\lambda _{2}(y'')^{2}+2b_{1}x''\qquad (\lambda _{2},b_{1}\neq 0)$
3. $F''=\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \qquad (\lambda _{2}\neq 0)$

Доказательство (леммы). 1 $\lambda _{1},\lambda _{2}\neq 0$. Выделяем полные квадраты:

${\begin{aligned}F'&=\lambda _{1}x'^{2}+\lambda _{2}y'^{2}+2b_{1}x'+2b_{2}y'+b_{0}=\\&=\lambda _{1}\left(x'+{\frac {b_{1}}{\lambda _{1}}}\right)^{2}+\lambda _{2}\left(y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}\right)^{2}+\left(b_{0}-{\frac {b_{1}^{2}}{\lambda _{1}}}-{\frac {b_{2}^{2}}{\lambda _{2}}}\right)=&=\lambda _{1}(x'')^{2}+\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \end{aligned}}$

где $x''=x'+{\frac {b_{1}}{\lambda _{1}}},y''=y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой.

2 $\lambda _{1}=0,\lambda _{2}\neq 0$ (если $\lambda _{2}=0,\lambda _{1}\neq 0$, то поменяем координаты местами). Возможны два случая.

а) $b_{1}\neq 0$

${\begin{aligned}F'&=\lambda _{2}y'^{2}+2b_{1}x'+2b_{2}y'+b_{0}=\\&=\lambda _{2}\left(y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}\right)^{2}+2b_{1}x'+\left(b_{0}-{\frac {b_{2}^{2}}{\lambda _{2}}}\right)=&=\lambda _{2}(y'')^{2}+2b_{1}x''\end{aligned}}$

где $x''=x'+{\frac {1}{2b_{1}}}\left(b_{0}-{\frac {b_{2}^{2}}{\lambda _{2}}}\right),y''=y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой.

б) $b_{1}=0$

${\begin{aligned}F'&=\lambda _{2}y'^{2}+2b_{2}y'+b_{0}=\\&=\lambda _{2}\left(y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}\right)^{2}+\left(b_{0}-{\frac {b_{2}^{2}}{\lambda _{2}}}\right)=&=\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \end{aligned}}$

где $x''=x',y''=y'+{\frac {b_{2}}{\lambda _{2}}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой. Лемма доказана. ${}^{\Box }$

Вернемся к доказательству теоремы. В соответствии с последней леммой любое уравнение второго порядка можно свести к одному из трех указанных в ней случаях. Рассмотрим каждый из них

1. $F''=\lambda _{1}(x'')^{2}+\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \qquad (\lambda _{1},\lambda _{2}\neq 0)$
   1. $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ одного знака, $\tau$ — противоположного. Делением на $\lambda _{1}\lambda _{2}\tau$ получаем уравнение эллипса.
   2. $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ и $\tau$ одного знака. Делением на $\lambda _{1}\lambda _{2}\tau$ получаем уравнение мнимого эллипса.
   3. $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ одного знака, $\tau =0$. Делением на $\lambda _{1}\lambda _{2}$ получаем уравнение пары пересекающихся мнимых прямых.
   4. $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ разных знаков, $\tau \neq 0$. Делением на $|\lambda _{1}\lambda _{2}\tau |$ получаем уравнение гиперболы.
   5. $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ разных знаков, $\tau =0$. Делением на $\lambda _{1}\lambda _{2}$ получаем уравнение пары пересекающихся прямых.
2. $F''=\lambda _{2}(y'')^{2}+2b_{1}x''\qquad (\lambda _{2},b_{1}\neq 0)$
   1. Делением на $\lambda _{2}$ получаем уравнение параболы.
3. $F''=\lambda _{2}(y'')^{2}+\tau \qquad (\lambda _{2}\neq 0)$
   1. $\tau <0$. Уравнение пары параллельных прямых.
   2. $\tau >0$. Уравнение пары параллельных мнимых прямых.
   3. $\tau =0$. Уравнение пары совпадающих прямых.

Таким образом, теорема доказана. $\Box$

Инварианты многочлена второй степени

Ортогональным инвариантом называется функция от коэффициентов многочлена $F$, которая не меняется при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.

Ортогональными инвариантами являются следующие три функции:

1. $S=a_{11}+a_{22}$
2. $\delta =a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}$
3. $\Delta =\left|{\begin{bmatrix}a_{11}\ a_{12}\ a_{1}\\a_{12}\ a_{22}\ a_{2}\\a_{1}\ a_{2}\ a_{0}\end{bmatrix}}\right|$

Характеристическим многочленом называется многочлен $\chi =\left|{\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda \ a_{12}\\a_{12}\ a_{22}-\lambda \end{bmatrix}}\right|$. Можно показать, что $\chi =\lambda ^{2}-S\lambda +\delta$.

При доказательстве теоремы о приведении к каноническому виду было показано, что любое уравнение второго порядка можно привести к одному из трех видов. Поскольку при этом применялись только ортогональные преобразования, то инварианты сохранились. Составим таблицу значений инвариантов для разных видов:

Случай	$S$	$\delta$	$\Delta$
1	$\lambda _{1}+\lambda _{2}$	$\lambda _{1}\lambda _{2}$	$\lambda _{1}\lambda _{2}\tau$
2	$\lambda _{2}$	$0$	$-\lambda _{2}b_{1}^{2}$
3	$\lambda _{2}$	$0$	$0$

Очевидно, тип уравнения второго порядка определяется значением инвариантов:

1. $\delta \neq 0$
2. $\delta =0,\Delta \neq 0$
3. $\delta =0,\Delta =0,S\neq 0$

Рассмотрим как определить значения коэффициентов $\lambda _{1},\lambda _{2},b_{1},\tau$ в разных случаях.

1) По теореме Виета коэффициенты $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ удовлетворяют уравнению $\lambda ^{2}-S\lambda +\delta =0$, которое совпадает с характерестическим уравнением. Таким образом, коэффициенты $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ находятся как корни уравнения $\chi =0$, а $\tau =\Delta /\delta$.

2) Очевидно, $\lambda _{2}=S,b_{1}=\pm {\sqrt {-\Delta /S}}$, при этом знак для $b_{1}$ выбирают так, чтобы $b_{1}\lambda <0$.

3) Очевидно, $\lambda _{2}=S$, но вычислить $\tau$ через инварианты невозможно. В этом случае используют так называемый «семивариант», определяемый формулой $K=\left|{\begin{bmatrix}a_{11}\ a_{1}\\a_{1}\ a_{0}\end{bmatrix}}\right|+\left|{\begin{bmatrix}a_{22}\ a_{2}\\a_{2}\ a_{0}\end{bmatrix}}\right|$.

Можно показать, что $K$ является инвариантом при $\delta =\Delta =0$ и $\tau =K/S$

Рассмотрим какие значения принимают инварианты в зависимости от одного из девяти типов кривых.

1. Эллипс. $\delta >0,S\Delta <0$.
2. Мнимый эллипс. $\delta >0,S\Delta >0$.
3. Пара пересекающихся мнимых прямых. $\delta >0,\Delta =0$.
4. Гипербола. $\delta <0,\Delta \neq 0$.
5. Пара пересекающихся прямых. $\delta <0,\Delta =0$.
6. Парабола. $\delta =0,\Delta \neq 0$.
7. Пара параллельных прямых. $\delta =\Delta =0,K<0$.
8. Пара параллельных мнимых прямых. $\delta =\Delta =0,K>0$.
9. Пара совпадающих прямых. $\delta =\Delta =0,K=0$.