Линейные операторы и функционалы

Линейные операторы

Пусть $X$ и $Y$ - линейные вещественные (комплексные) пространства.

Определение. Отображение $A:X\to Y$ называется линейным оператором, если:

$A(\alpha x+\beta y)=\alpha A(x)+\beta A(y),\forall x,y\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} (\mathbb {C} )$

Определение. Образом оператора $A$ называется множество ${\text{Im}}A=R(A)=\{y\in Y|y=A(x),x\in D(A)\},D(A)$ - область определения оператора $A$

Определение. Ядром оператора $A$ называется множество ${\text{Ker}}A=N(A)=\{x\in D(A)|A(x)=0\}$

Определение. Линейный оператор $A:X\to X$ называется линейным преобразованием пространства $X$.

Операции над линейными операторами

Пусть линейный оператор $A,B:X\to Y$

$\left.{\begin{matrix}c=a+b,c(x)=A(x)+B(x)\\c=\alpha A,c(x)=\alpha A(x)\end{matrix}}\right\}\Rightarrow$ множество линейных операторов действующих из $X$ в $Y$ является линейным пространством.

Пусть $A:X\to Y,B:Y\to Z$

$C=BA,C:X\to Z$; $C(x)=B(A(x))$

Линейные операторы в нормированных пространствах

Пусть $X$ и $Y$ - нормированные пространства.

Определение. Оператор $A:X\to Y$ называется непрерывным в точке $x_{0}$, если для $\forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }:x_{n}\to x_{0}$ справедливо: $A(x_{n})\to A(x_{0})$

Свойства:

• Если $A$ - линейный оператор и $A$ - непрерывен в точке $x_{0}\in X$, то $A$ - непрерывен в $\forall x\in X$

Доказательство. $\forall x\in X$, возьмем некоторую $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }:x_{n}\to x$

$A(x_{n})=A(x_{n}-x+x_{0})+A(x-x_{0})\to A(x_{0})+A(x-x_{0})=A(x)$

• Оператор $A$ - непрерывен (то есть непрерывен во всех точках $x\in X$) $\Leftrightarrow$ $A$ непрерывен в нуле.

Определение. Оператор $A$ называется ограниченным, если $\exists c\geq 0:\|A(x)\|_{Y}\leq c\|x\|_{X},\forall x\in X\quad (*)$

Теорема. Ограниченность оператора эквивалентна каждому из этих свойств:

1. Оператор $A$ переводит всякое ограниченное множество в ограниченное множество
2. Оператор переводит единичную сферу $S=\{x\in X|\|x\|=1\}$ в ограниченную сферу.

Доказательство. Покажем: $(*)\Rightarrow (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (*)$

$(*)\Rightarrow (1)$ : $\forall M\in X$, $M$ - ограниченно: $\exists C_{1}:\|x\|\leq C_{1}\forall x\in M$

$\|A(x)\|_{y}\leq C\|x\|\leq CC_{1}=C_{2},\forall x\in M\Rightarrow A(M)$ - ограничено

$(1)\Rightarrow (2)$ - очевидно, так как $S$ - ограниченное множество

$(2)\Rightarrow (*)$ : Дано $\|Ax\|_{Y}\leq C_{1}\quad \forall x:\|x\|_{X}=1$

$\forall x,{\tilde {x}}={\frac {x}{\|x\|}}:\|A{\tilde {x}}\|\leq C_{1}\Rightarrow {\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\leq C_{1}\Rightarrow \|Ax\|\leq C_{1}\|x\|$

Определение. Нормой линеного оператора $A$ называется:

$\|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}<\infty$

Теорема. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство.

1. Пусть $A$ - ограничен. Пусть $x_{n}\to 0$, рассмотрим $A(x_{n})$. Покажем $\|A(x_{n})\|\to 0:\|A(x_{n})\|\leq C\|x_{n}\|\to 0\Rightarrow A(x_{n})\to 0\Rightarrow$ $A$ - непрерывен
2. Пусть $A$ - непрерывен. Предположим, что он не является ограниченным.

$\forall n\geq 1:\exists x_{n}\quad \|A(x_{n})\|>n\|x_{n}\|$. ${\tilde {x}}_{n}={\frac {x_{n}}{n\|x_{n}\|}}$

Имеем $\|A({\tilde {x}}_{n})\|>1$ - противоречие, так как ${\tilde {x}}_{n}\to 0\Rightarrow A{\tilde {x}}_{n}\to 0\Rightarrow$ $A$ - ограничен.