Математика (5 класс)/Что такое математические модели

Знаменитые "пятнашки" изобрел американец Сэм Ллойд, живший на рубеже XIX-XX в. Головоломка быстро завоевала весь мир. Ее популярность была столь велика, что владельцы фирм вывешивали специальные объявления, запрещавшие играть в нее в рабочее время. Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурмана, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги.[1]

Легенда о игре "пятнашки".


Математическая модель (это упрощенное математическое представление ) этой головоломки дает теория групп, а точнее симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества .

Определение. Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана ассоциативная операция «сложения», которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:

  • Замкнутость группы относительно операции сложения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их суммой:
  • Существование нейтрального элемента. В группе существует некоторый элемент E, сумма которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A:
  • Существование обратного элемента. Для любого элемента A группы существует такой элемент A−1, что их сумма даёт единичный элемент E:

И если перестановки достижимые из 14-15 рис.2 описываются знакопеременной группой перестановок степени n — подгруппы симметрической группы степени , содержащая только чётные перестановки,то в группе достижимые из 15-14 рис.1 количество перестановок нечетное. То есть проблема подобная (1+0+...0=0) прибавляя к единице нули получить нуль, что недостижимо.

Математическая модель - это математическое представление какого-либо объекта. Говоря другими словами, это описание объекта с помощью математического языка, исследование его с помощью математических знаний и отображение его свойств с помощью формул. В итоге, у нас выйдет модель, с помощью которой можно предсказать поведение объекта.

  1. Яков Исидорович Перельман "Живая математика. Математические рассказы и головоломки"