Метод конечных разностей

Постановка краевой задачи.

Постановка краевой задачи

Тонкий однородный стержень, на концах электроды, начальная температура $T_{0}$.

${\frac {\partial U}{\partial t}}=-{\frac {\partial {}}{\partial x}}(k{\frac {\partial U}{\partial x}})+qU+f(x,t)\quad (1)$ - одномерное уравнение теплопроводности

$U=U(x,t)$ - характеризует температуру стержня в момент $t$ в точке $x$

$k(x)$ - коэффициент теплопроводности (зависит от ... $k(x)\geq k_{0}>0$ - из физического смысла материала)

$q(x)$ - коэффициент теплоотдачи

$f(x,t)$ - плотность внешних источников

Стационарное одномерное уравнение теплопроводности:

$-{\frac {d}{dx}}x(k{\frac {\partial U}{\partial x}})+qU=f(x),\quad (0<x<l)$.

Граничные условия: $U(0)=U_{0}\quad U(l)=U_{1}$ - I рода.

Дискретизация

$x_{i}=0+ih,\quad i=0..N$, шаг $h$ фиксирован

Пусть $k(x)=1$

$U''+qU=f$ - в рассматриваемых точках $x_{i},\quad i={\overline {1,N-1}}$

${\begin{matrix}&{\frac {-U_{i+1}-2U_{i}+U_{i-1}}{h^{2}}}+qU_{i}=f_{i}\quad i={\overline {1,N-1}}\\&U_{0}=U0\quad U_{N}=U1\end{matrix}}$ - разностная схема

Используемый метод - метод конечных разностей.

Аппроксимация и сходимость разностной схемы

${\begin{cases}-U''+qU=f(x)\\U(a)=U_{a}\quad U(b)=U_{b}\end{cases}}\quad q=q(x)\geq 0\forall x$ - требование разрешимости задачи

Теорема. $\exists !f(x),q(x)\in C^{(m)}[a,b]:\exists !U(x)\in C^{(m+2)}[a,b]$

(если это не выполняется, то сходимость будет хуже)

Замечание. Если рассматривается задача в полном варианте, то $k(x)\in C^{(m+1)}[a,b],\quad U(x)\in C^{(m+2)}[a,b]$

$x_{i}=a+ih$. $U(x_{i}),y(x_{i})$ - точное и приближенное решение задачи. $y_{i}=y(x_{i})=y_{i}^{h}$

Разностная схема:

${\begin{matrix}&{\frac {-y_{i-1}-2y_{i}+y_{i+1}}{h^{2}}}+q_{i}y_{i}=f_{i},&0<i<N\\&y_{0}=U_{a}\quad y_{N}=U_{b}\end{matrix}}$ Задача с трехдиагональной разряженной матрицей:

$(2):{\begin{cases}y_{0}&=U_{a}\\-y_{0}+(2+h^{2}q_{1})y_{1}-y_{2}&=f_{1}h^{2}\\\qquad -y_{1}+(2+h^{2}q_{2})y_{2}-y_{3}&=f_{2}h^{2}\\\dots \\\qquad -y_{N-2}+(2+h^{2}q_{N-1})y_{N-1}-y_{N}&=f_{N-1}h^{2}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y_{n}&=U_{b}\end{cases}}$ - система с диагональным преобладанием

Теорема. Если в системе $(2)$ выполнены следующие условия диагонального преобладани, то прогонка может быть доведена до конца.

1) $|b_{i}|\geq |a_{i}|+|c_{i}|,\quad |b_{i}|>|a_{i}|,\quad |b_{i}|>|c_{i}|\forall i$

$(3):{\begin{cases}b_{0}x_{o}+c_{0}x_{1}&=d_{0}\\\dots \\a_{i}x_{i-1}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i+1}&=d_{i}\\\dots \\a_{N}x_{N-1}b_{N}x_{N}&=d_{n}\end{cases}}$ - общий вид метода прогонки

для системы $(2)$:

${\begin{cases}b_{0}=1,c_{0}=0\\b_{i}=2+h^{2}q,i={\overline {1,N-1}}\quad a_{i}=-1,c_{i}=-1\\a_{N}=0,b_{N}=1,c_{N}>0\end{cases}}\Rightarrow$ все условия выполнены

Теорема. Решение разностной схемы $(2)\exists !$

Доказательство. Вытекает из ограничения на коэффициент $q(x)$ и теоремы о применяемости метода прогонки.

По аналогии с дифференциальным оператором введем разностный оператор: $L^{h}[y]_{i}={\frac {-y_{i-1}-2y_{i}+y_{i+1}}{h^{2}}}+q_{i}y_{i}$

${\begin{cases}L^{h}[y]_{i}=f_{i}&\forall i={\overline {1,N-1}}\\y_{0}=U_{a}\quad y_{N}=U_{b}\end{cases}}$

Теорема. $f_{i}\leq 0\quad i=1..N-1\quad U_{a}\leq ,U_{b}\leq 0\Rightarrow y_{i}\leq 0\quad i={\overline {0,N}}$

Доказательство. (от противного)

$y_{j}>0$ ($j$-последняя точка, где это выполняется) $\Rightarrow y_{j}\leq y_{j-1}$ и $y_{j}>y_{j+1}$ (условие того, что $j$-последняя) $a_{j}y_{j-1}+b_{j}y_{j}+c_{j}y{j+1}=d_{j}$, где $d_{j}=h^{2}f_{j}\leq 0$, $a_{j}=-1$, $c_{j}=-1$; $b_{j}=2+h^{2}q_{j}>0$

$0\leq (a_{j}+b_{j}+c_{j})U_{j}=a_{j}U_{j}+b_{j}U_{j}+c_{j}U_{j}<a_{j}y_{j-1}b_{j}y_{j}+c_{j}y_{j+1}=d_{j}\leq 0$ - по предположению, то есть $0<0$ - противоречие $(a_{j}y_{j}\leq a_{j}y_{j-1};c_{j}y_{j}<c_{j}y_{j+1})$

Следствие. $|L^{h}[U^{h}]|\leq L^{h}V^{h}$ - пусть справедливо для двух задач и пусть $|U^{h}(a)|\leq V^{h}(a)$ и $|U^{h}(b)|\leq V^{h}(b)\Rightarrow |U^{h}|\leq V^{h}$ внутри $[a,b]$

Теорема. Верна оценка:

$\max {0\leq i\leq N}|y_{i}|\leq \max\{|u_{a}|,|U_{b}|\}+{\frac {(b-a)^{2}}{8}}\max {1\leq i\leq N-1}|f_{i}|\quad (4)$

Доказательство. Разобъем начальную задачу на две: $y=V+\omega$

${\begin{cases}L^{h}[\omega ]=f\\\omega _{0}=0,\omega _{n}=0\end{cases}}$ и ${\begin{cases}L^{h}[V]=0\\V_{0}=U_{a},V_{N}=U_{b}\end{cases}}$

$M=\max\{|U_{a}|,|U_{b}|\}$. Покажем, что $|V|\leq M$ Проверим, что $M$ действительно мажорирует $V$. В граничных условиях это выполняется по построению

$L^{h}[M]_{i}=q_{i}M$

$L^{h}[V]_{i}=0\leq q_{i}-M$ так как $q_{i}>0$ по условию $\Rightarrow$ $M$-мажоранда

для $\omega$ мажорандой является $A_{i}\delta (x_{i}-a){b-x_{i}},\quad \delta =\max {1\leq i\leq N-1}|f_{i}|$

$L^{h}[A]_{i}=A+q_{i}\omega _{i}$

$L^{h}[\omega ^{h}]_{i}=f_{i}\leq A_{i}+q_{i}\omega _{i}$

$(x-a)(b-x)$ - парабола, её максимум ${\frac {(b-a)^{2}}{8}}$

$\max |A_{i}|={\frac {(b-a)^{2}}{b}}\delta$ Найденные мажоранды оценивают наше решение и отсюда верна оценка $(4)$: $\max |y|\leq \max |V|+\max |\omega |$

Для сходимости численного метода требуется аппроксимация и устойчивость. Устойчивость будет вытекать из оценки $(4)$

Доказательство. ${\begin{cases}L^{h}[y]_{i}=f_{i}\\y_{0}=U-a,y_{N}=U_{b}\end{cases}}{\begin{cases}L^{h}[y^{*}]_{i}=f_{i}^{*}\\y_{0}^{*}=U_{a}^{*},y_{N}^{*}=U_{b}^{*}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}L^{h}[\varepsilon _{i}]=\delta f_{i}\\\varepsilon (a)=\varepsilon _{a},\varepsilon (b)=\varepsilon _{b}\end{cases}}$

$\delta f_{i}=f_{i}-f_{i}*$ Записывая оценку $(4)$ для этой задачи

Теорема. Пусть $q(x),f(x)\in C^{2}[a,b]$. Тогда $\max {1\leq i\leq N-1}|\Psi _{i}^{h}|\leq {\frac {M_{4}}{12}}h^{2}$, $M_{4}=\max {[a,b]}|U^{(4)}(x)|$, где $\Psi _{i}^{h}$ - аппроксимация

Доказательство. $\Psi _{i}^{h}=L^{h}[U]-f_{i}={\frac {U(x_{i-1})-2U(x_{i})+U(x_{i+1})}{h^{2}}}+q(x_{i})U(x_{i})-f(x_{i})=-U''(x_{i})+r_{i}^{h}+q(x_{i})U(x_{i})-f(x_{i})=r_{i}^{h}$

$r_{i}^{h}={\frac {U^{IV}(\xi _{i})h^{2}}{12}}$, $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i+1}]\quad \max {1\leq i\leq N-1}|\Psi _{i}^{h}|\leq {\frac {M_{4}h^{2}}{12}}$

Теорема. Пусть $q(x),f(x)\in C^{2}[a,b]$.

Тогда $\max {0\leq i\leq N}|y_{i}-U(x_{i})|\leq {\frac {M-4(b-a)^{2}}{96}}h^{2}$

Доказательство. Подставим в сеточный оператор точное решение. Очевидно $L^{h}[U]_{i}=f_{i}+\Psi _{i}$; $U_{(}a)=U_{a}$; $U(b)=U_{b}$

$\max {0\leq i\leq N}|U_{i}-y_{i}|\leq {\frac {(b-a)^{2}}{8}}\max {1\leq i\leq N-1}|\Psi _{i}|\leq {\frac {(b-a)^{2}}{8}}{\frac {M_{4}}{12}}h^{2}$