Тонкий однородный стержень, на концах электроды, начальная температура .
- одномерное уравнение теплопроводности
- характеризует температуру стержня в момент в точке
- коэффициент теплопроводности (зависит от ... - из физического смысла материала)
- коэффициент теплоотдачи
- плотность внешних источников
Стационарное одномерное уравнение теплопроводности:
.
Граничные условия: - I рода.
Дискретизация
, шаг фиксирован
Пусть
- в рассматриваемых точках
- разностная схема
Используемый метод - метод конечных разностей.
Аппроксимация и сходимость разностной схемы
править
- требование разрешимости задачи
Теорема.
(если это не выполняется, то сходимость будет хуже)
Замечание. Если рассматривается задача в полном варианте, то
. - точное и приближенное решение задачи.
Разностная схема:
Задача с трехдиагональной разряженной матрицей:
- система с диагональным преобладанием
Теорема. Если в системе выполнены следующие условия диагонального преобладани, то прогонка может быть доведена до конца.
1)
- общий вид метода прогонки
для системы :
все условия выполнены
Теорема. Решение разностной схемы
Доказательство. Вытекает из ограничения на коэффициент и теоремы о применяемости метода прогонки.
По аналогии с дифференциальным оператором введем разностный оператор:
Теорема.
Следствие. - пусть справедливо для двух задач и пусть и внутри
Теорема. Верна оценка:
Доказательство. Разобъем начальную задачу на две:
и
. Покажем, что
Проверим, что действительно мажорирует . В граничных условиях это выполняется по построению
так как по условию -мажоранда
для мажорандой является
- парабола, её максимум
Найденные мажоранды оценивают наше решение и отсюда верна оценка :
Для сходимости численного метода требуется аппроксимация и устойчивость. Устойчивость будет вытекать из оценки
Теорема. Пусть . Тогда , , где - аппроксимация
Теорема. Пусть .
Тогда