Метод конечных разностей

Постановка краевой задачи.

править
 
Постановка краевой задачи

Тонкий однородный стержень, на концах электроды, начальная температура  .

  - одномерное уравнение теплопроводности

  - характеризует температуру стержня в момент   в точке  

  - коэффициент теплопроводности (зависит от ...   - из физического смысла материала)

  - коэффициент теплоотдачи

  - плотность внешних источников

Стационарное одномерное уравнение теплопроводности:

 .

Граничные условия:   - I рода.

Дискретизация

 , шаг   фиксирован

Пусть  

  - в рассматриваемых точках  

  - разностная схема

Используемый метод - метод конечных разностей.

Аппроксимация и сходимость разностной схемы

править

  - требование разрешимости задачи

Теорема.  

(если это не выполняется, то сходимость будет хуже)

Замечание. Если рассматривается задача в полном варианте, то  


 .   - точное и приближенное решение задачи.  

Разностная схема:

  Задача с трехдиагональной разряженной матрицей:

  - система с диагональным преобладанием

Теорема. Если в системе   выполнены следующие условия диагонального преобладани, то прогонка может быть доведена до конца.

1)  

  - общий вид метода прогонки

для системы  :

  все условия выполнены

Теорема. Решение разностной схемы  
Доказательство. Вытекает из ограничения на коэффициент   и теоремы о применяемости метода прогонки.


По аналогии с дифференциальным оператором введем разностный оператор:  

 

Теорема.  
Доказательство. (от противного)

  ( -последняя точка, где это выполняется)   и   (условие того, что  -последняя)  , где  ,  ,  ;  

  - по предположению, то есть   - противоречие  


Следствие.   - пусть справедливо для двух задач и пусть   и   внутри  


Теорема. Верна оценка:

 

Доказательство. Разобъем начальную задачу на две:  

  и  

 . Покажем, что   Проверим, что   действительно мажорирует  . В граничных условиях это выполняется по построению

 

  так как   по условию    -мажоранда

для   мажорандой является  

 

 

  - парабола, её максимум  

  Найденные мажоранды оценивают наше решение и отсюда верна оценка  :  


Для сходимости численного метода требуется аппроксимация и устойчивость. Устойчивость будет вытекать из оценки  

Доказательство.  

  Записывая оценку   для этой задачи


Теорема. Пусть  . Тогда  ,  , где   - аппроксимация
Доказательство.  

 ,  


Теорема. Пусть  .

Тогда  

Доказательство. Подставим в сеточный оператор точное решение. Очевидно  ;  ;