Начально-краевые задачи для параболического уравнения

- уравнеие теплопроводности

Краевые условия:

  1. I рода - на границе задана температура .
  2. II рода - на границе задан поток тепла.
  3. III рода - на границе теплообмен с внешней средой, в которой температура .

Пусть - одномерный интервал .

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности

+ Функция должна быть непрерывна + Должны выполняться условия согласования:

Такие задачи встречаются в областях, бесконечных по или по .

Задача Коши уравнения теплопроводности

править
 

Общий вид уравнения:

 
 

Если  , то уравнение параболическое

Замена:  

Получаем:  

Аналогично для  :

Канонический вид:  

Рассматриваем на примере уравнения теплопроводности:

Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Случай нулевых граничных условий

править
 

Ищем решение такой задачи в виде:

 

 

 

Задача распадается на два обычных уравнения:

 

 

При   нетривиальных решений у   нет.

При  

 

  Пусть  

  - решение  

 

 

 

 

 

 

  равны коэффициентам ряда Фурье при разложении функции   в ряд Фурье по синусам:

 

Подставим в формулу   и получаем формально построенное решение.

Обоснование решения. Надо доказать, что ряд   сходится и его можно почленно дифференцировать.

Рассмотрим  , где   - сколь угодно малое, тогда

 
 

где  

Получим:

 

Мажорируется рядом  

Докажем что   сходится:

 
 

ряд   сходитя, следовательно по признаку Веерштрасса наш ряд сходится равномерно, следовательно его можно почленно дифференцировать любое кол-во раз, так как   - любое, то это справедливо для  .

Следствие: ряд можно почленно дифф-ть какое угодно кол-во раз.

Непрерывность

править

Наложим дополнительные условия:

  имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке  . Тогда при  :

  --- мажорирующий ряд для рядов Фурье

Чем выше гладкость функции, тем быстрее на бесконечности убывают коэффициенты   ряд   сходится   равномерная сходимость исходного ряда на прямоугольнике   - непрерывная функция.

Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Первая краевая задача с неоднородными граничными условиями.

править
 

Сведем эту задачу к задаче с нулевыми граничными условиями:

  - удовлетворяет граничным условиям

 . Задача для   имеет вид:

 

где  

Пусть  . Рассмотрим 2 задачи:

 
 

Нужно решить задачу  : Будем искать  

 

 

Подставим в уравнение  :

 

  - неоднородное линенйное дифференциальное уравнение  

 

  - однородное линеное уравнение

  - решение однородного

Решение неоднородного:  

Подставим в  :  

Проинтегрируем с учетом нулевого условия:

 

 

 

Если   - достаточно гладкая функция, то ряд сходится и он будет решением задачи для  .