Немецкий язык/Списки и таблицы/Таблица логических символов
| Symbol(e) | Name | Erklärung | Beispiel |
|---|---|---|---|
| kann gelesen werden als | |||
| Kategorie | |||
| ⇒
→ ⊃ |
Materiale Implikation | A ⇒ B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist die Aussage wahr, wenn auch B wahr ist und falsch, wenn B falsch ist; wenn A falsch ist, ist die Aussage wahr, unabhängig davon, ob B wahr ist oder nicht.
Oder Übersetzt: A ⇒ B bedeutet: Wenn A und B wahr ist, ist die Aussage wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, ist die Aussage falsch. Wenn A falsch ist, ist die Aussage immer wahr unabhängig von B. → kann dasselbe bedeuten wie ⇒ (das Symbol kann ebenfalls Definitions- und Wertebereich einer Funktion angeben). ⊃ kann dasselbe bedeuten wie ⇒ (das Symbol kann ebenfalls die Obermenge bezeichnen). |
"x = 2 ⇒ x2 = 4" ist wahr, aber "x2 = 4 ⇒ x = 2" ist falsch (da x auch −2 sein könnte). |
| wenn…, dann | |||
| Aussagenlogik | |||
| ⇔
↔ |
Materiale Äquivalenz | A ⇔ B bedeutet: Die Aussage ist wahr, wenn die Wahrheitswerte von A und B übereinstimmen und falsch, wenn sie nicht übereinstimmen. | "x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y" |
| genau dann, wenn | |||
| Aussagenlogik | |||
| ¬
˜ |
Negation | Die Aussage ¬A ist wahr genau dann wenn A falsch ist und falsch wenn A wahr ist.
Ein über einem anderen Operator gesetzter Querstrich bedeutet dasselbe wie ein vor der Aussage platziertes "¬". |
"¬(¬A) ⇔ A" "x ≠ y ⇔ ¬(x = y)" |
| nicht | |||
| Aussagenlogik | |||
| ∧
& |
Konjunktion | Die Aussage "A ∧ B" ist wahr genau dann wenn die Aussagen "A" und "B" beide wahr sind; in allen anderen Fällen ist sie falsch. | "n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3" ist wahr wenn n eine natürliche Zahl ist. |
| und | |||
| Aussagenlogik | |||
| ∨ | Disjunktion | Die Aussage "A ∨ B" ist wahr genau dann wenn "A" oder "B" oder beide wahr sind; sind beide falsch, ist auch die Aussage falsch. | "n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3" ist wahr wenn n eine natürliche Zahl ist. |
| oder | |||
| Aussagenlogik | |||
| ⊕
⊻ |
Kontravalenz | Die Aussage "A ⊕ B" ist wahr genau dann, wenn entweder "A" oder "B", aber nicht beide zugleich, wahr sind. "A ⊻ B" ist dazu bedeutungsgleich. | "(¬A) ⊕ A" ist immer wahr, "A ⊕ A" immer falsch.
"(A ⇔ B) ⇔ ¬(A ⊕ B)" |
| entweder… oder | |||
| Aussagenlogik, Boolesche Algebra | |||
| ∀
|
Allquantor | "∀ x: P(x)" bedeutet "P(x) ist wahr für alle x". | ∀ n ∈ N: n2 ≥ n. |
| für alle/ jedes | |||
| Prädikatenlogik | |||
| ∃
|
Existenzquantor | "∃ x: P(x)" bedeutet, dass es mindestens ein x gibt für das "P(x)" wahr ist. | ∃ n ∈ N: n ist gerade. |
| es gibt mindestens ein | |||
| Prädikatenlogik | |||
| ∃! | Einzelquantor | "∃! x: P(x)" bedeutet, dass es genau ein x gibt für das P(x) wahr ist. | ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n. |
| es gibt genau ein | |||
| Prädikatenlogik | |||
| :=
≡ :⇔ =D |
Definition | "x := y" oder "x ≡ y" bedeutet, dass x als eine andere Bezeichnung für y definiert ist (beachte bitte dass ≡ auch andere Bedeutungen haben kann, wie z. B. Kongruenz). "P :⇔ Q" bedeutet dass P als logisch äquivalent zu Q definiert ist. |
"cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))" "A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)" |
| ist definiert als | |||
| alle Logiken | |||
| ( ) | Vorrangsgruppierung | Anweisung, die Operation innerhalb der Klammern zuerst auszuführen. | "(8/4)/2 = 2/2 = 1", aber "8/(4/2) = 8/2 = 4." |
| alle Logiken | |||
| ⊢ | Ableitbarkeitsrelation | "x ⊢ y" bedeutet, dass y aus x (syntaktisch) hergeleitet werden, d. h. mit den Schlussregeln eines Kalküls erzeugt werden kann. | "A → B ⊢ ¬B → ¬A" |
| impliziert/ aus… folgt oder kann abgeleitet werden | |||
| alle Logiken | |||
| Folgerungsbeziehung | "x y" bedeutet, dass y aus x (semantisch) folgt; für klassische Logik ist das genau dann der Fall, wenn jede Interpretation, unter der x wahr ist, auch für y wahr ist. | "A A ∨ ¬A" | |
| impliziert/ aus… folgt oder kann abgeleitet werden | |||
| alle Logiken |
