Непрерывные функции
Непрерывные функции.
правитьОпределение. Функция непрерывна в точке , если
Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , тогда
Теорема. Пусть функция непрерывна в точке и , тогда
Теорема. Пусть функции непрерывны в точке тогда:
- непрерывна в точке
- непрерывна в точке
- если то непрерывна в точке
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
правитьОпределение. непрерывна на если непрерывна в точке
Определение. непрерывна на если непрерывна в точке и
Теорема. Пусть определена на и причём тогда
Доказательство. пусть используем метод деления отрезка пополам.
Обозначим . определим
- и так далее
по лемме о вложенных отрезках:
непрерывна в точке
Теорема Вейерштрасса(первая). Пусть тогда ограничена на
Доказательство. Докажем, что: .
Предположим противное, то есть возьмём получим :
- .
- . из этих определений получаем
- подпосл-ть посл-ти
- непрерывна в точке
- подпосл-ть посл-ти - противоречие.
Теорема Вейерштрасса(вторая). Пусть тогда
Доказательство. По условию теоремы ограничена на
Докажем, что
Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на По первой теореме Вейерштрасса ограничена на то есть
- верхняя граница.
то есть - противоречие.