Непрерывные функции

Непрерывные функции.

править
Определение. Функция   непрерывна в точке , если
  1.  
  2.  
  3.  


Теорема. Пусть функция  непрерывна в точке , тогда  
Теорема. Пусть функция  непрерывна в точке  и  , тогда  
Теорема. Пусть функции  непрерывны в точке  тогда:
  1.   непрерывна в точке  
  2.   непрерывна в точке  
  3. если   то   непрерывна в точке  

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

править
Определение.   непрерывна на  если   непрерывна в точке  


Определение.   непрерывна на  если   непрерывна в точке   и  


Теорема. Пусть  определена на  и  причём  тогда  
Доказательство. пусть   используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим  . определим  

  1.  
  2.  
  3.   и так далее

 

по лемме о вложенных отрезках:  

  непрерывна в точке  

 


Теорема Вейерштрасса(первая).  Пусть  тогда  ограничена на  
Доказательство. Докажем, что:  .

Предположим противное, то есть  возьмём   получим  :

  1.  .
  2.  . из этих определений получаем  

 - подпосл-ть посл-ти  

  - непрерывна в точке 

 - подпосл-ть посл-ти   - противоречие.


Теорема Вейерштрасса(вторая).  Пусть  тогда 
Доказательство. По условию теоремы   ограничена на  

Докажем, что  

Предположим противное, то есть  . Рассмотрим вспомогательную функцию  на   По первой теореме Вейерштрасса   ограничена на   то есть  

  - верхняя граница.

  то есть   - противоречие.