Операции над числовыми последовательностями

Арифметические операции над числовыми последовательностями

1. Сумма последовательностей ${x_{n}}$ и ${y_{n}}$ - это последовательность ${x_{n}+y_{n}}$, элементы которой имеют вид $x_{1}+y_{1}$,$x_{2}+y_{2}$, $x_{3}+y_{3}$, ..., $x_{n}+y_{n}$.

2. Разность последовательностей ${x_{n}}$ и ${y_{n}}$ - это последовательность ${x_{n}-y_{n}}$, элементы которой имеют вид $x_{1}-y_{1}$,$x_{2}-y_{2}$,$x_{3}-y_{3}$, ..., $x_{n}-y_{n}$.

3. Произведение последовательностей ${x_{n}}$ и ${y_{n}}$ - это последовательность ${x_{n}*y_{n}}$, элементы которой имеют вид $x_{1}*y_{1}$, $x_{2}*y_{2}$, $x_{3}*y_{3}$, ..., $x_{n}*y_{n}$.

4. Частное последовательностей ${x_{n}}$ и ${y_{n}}$ (где ${y_{n}}$≠0 при $\forall n$) - это последовательность ${x_{n}/y_{n}}$, элементы которой имеют вид $x_{1}/y_{1}$, $x_{2}/y_{2}$, $x_{3}/y_{3}$, ..., $x_{n}/y_{n}$.

Определение. Последовательность ${x_{n}}$ называется ограниченной сверху (снизу), если $\exists$ такое число $M(m)$, что $\forall$ элемент $x$ этой последовательности удовлетворяет неравенству $n\leq M(n\geq m)$.