Определители и их свойства

Определение.

$A={\bigl \|}a_{i,j}{\bigr \|}$ - матрица размера $n\times n$.

Определителем называется сумма вида:

$|A|=\sum _{(\alpha _{1},\alpha _{2}\dots \alpha _{n})}(-1)^{\rho (\alpha _{1},\alpha _{2}\dots \alpha _{n})}a_{1,\alpha _{1}}a_{2,\alpha _{2}}\dots a_{n,\alpha _{n}}$

где $\rho$ - число инверсий (Инверсией в перестановке $\pi :X\to X$ порядка $n$ называется всякая пара индексов $i,j$ такая, что $1\leq i<j\leq n$ и $\pi (i)>\pi (j)$) в перестановке $(\alpha _{1},\alpha _{2}\dots \alpha _{n})$.

Свойства определителей.

• Перестановка строк меняет знак определителя.

Доказательство. Если мы переставим i и j строки, потом возьмём $a_{1,\alpha _{1}}a_{2,\alpha _{2}}\dots a_{n,\alpha _{n}}$ - член $|A|$ , то все его множетели и в старом $|A|$ остануться в разных строках и столбцах. таким образом определители состоят из одинаковых членов. члену $a_{1,\alpha _{1}}a_{2,\alpha _{2}}\dots a_{n,\alpha _{n}}$ соответствует подстановка

${\begin{pmatrix}1&2&\dots &i&\dots &j&\dots &n\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{i}&\dots &\alpha _{j}&\dots &\alpha _{n}\end{pmatrix}},$

а в старом подстановка

${\begin{pmatrix}1&2&\dots &j&\dots &i&\dots &n\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{j}&\dots &\alpha _{i}&\dots &\alpha _{n}\end{pmatrix}}.$

Так, например элемент матрицы $a_{i,\alpha _{i}}$ стоит теперь в j-ой строке, но в старом $|A|$ остаётся в $\alpha _{i}$-ом столбце. но вторая подстановка получается из первой путём одной транспозиции в верхней строке, т.е. имеет противоположную чётность $\Rightarrow$ все члены $|A|$ входят в новый с обратными знаками.

• Если все элементы строки $|A|$ умножить на число k, то сам $|A|$ умножится на k.

Доказательство. Пусть на k умножают элементы i-ой строки. каждый член определителя содержит ровно один элемент из i-ой строки, по этому всякий член приобретает множитель k, т.е. сам определитель умножается на k.

• Если все элементы i-ой строки $|A|$ представить в виде суммы двух слагаемых, то $|A|=|A_{1}|+|A_{2}|$.

Доказательство. $|A|=\sum _{\alpha }(-1)^{\rho }a_{1,\alpha _{1}}\dots (a_{i,\alpha _{i}}+b_{i,\alpha _{i}})\dots a_{n,\alpha _{n}}=$

$=\sum _{\alpha }(-1)^{\rho }a_{1,\alpha _{1}}\dots a_{i,\alpha _{i}}\dots a_{n,\alpha _{n}}+\sum _{\alpha }(-1)^{\rho }a_{1,\alpha _{1}}\dots b_{i,\alpha _{i}}\dots a_{n,\alpha _{n}}$

• Признаки равенства $|A|=0$.

• если одна из строк $|A|$ состоит из 0, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ есть две одинаковые строки, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ две строки пропорциональны, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ какой-либо столбец является линейной комбинацией других столбцов, то $|A|=0$.

• Прибавление одной строки к другой.

• если к какой-либо строке прибавить другую строку, умноженную на число, то $|A|$ не изменится.
• $|A|$ не изменится, если к какому либо столбцу прибавить линейную комбинацию других столбцов.