Основные представления о тензорах

Предварительные сведения

Отображение

Определение. Пусть X, Y - произвольные непустые множества. Тогда отображение (она же функция) f из множества X во множество Y - это правило, при помощи которого каждому элементу x принадлежащему множеству X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y из множества Y.

Линейный функционал

Определение. Линейная функция - функция вида $y=kx+b$ (для функций одной переменной). Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название.

Определение. Линейное отображение - обобщение линейной функции $y=kx$ на случай более общего множества аргументов и значений. Линейное отображение должно удовлетворять двум условиям линейности:

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
2. $f(\alpha x)=\alpha f(x)$.