Первообразная
Первообрáзной[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции называют такую , производная которой (на всей области определения) равна , то есть . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как или и т. д.; таким образом семейство первообразных функции можно обозначить как , где — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения .
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если — первообразная интегрируемой функции , то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции называют неопределённым интегралом (общим интегралом) и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Если — первообразная , и функция определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная отличается от на константу: всегда существует число , такое что для всех . Число называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция имеет первообразную , одна из которых представляется в виде интеграла от с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с не непрерывна при , но имеет первообразную с .
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
- .
Более развёрнутое изложение этих фактов см. в дифференциальной теории Галуа.
Таблица первообразных
правитьСвойства первообразной
править- Первообразная суммы равна сумме первообразных
- Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
- Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке
- Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
- У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.
Техника интегрирования
правитьНахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:
- линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
- интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
- интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
- метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
- метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
- алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
- некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
- при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
- Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
- если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.
Другие определения
правитьЭто определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной и выполнения всюду равенства , иногда в определении используют обобщения производной.
Определение первообразной через предел -ой производнойШаблон:Нет АИ
правитьФункция называется первообразной для функции если будет существовать предел для функции являющейся производной -го порядка для функции то есть
Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.
В самом деле,
Пример 1. Вычислим первообразную для функции
И так,
- при условии, что
Поскольку
Получаем
Пример 2. Вычислим первообразную для функции
Примечания
правитьСсылки
править- Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов
- Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
- Онлайн Калькулятор Интегралов