Предел последовательности/Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности $\{{x_{n}\}}$ к точке a вытекает, что для любого $\varepsilon >0$ интервалом длиной 2$\varepsilon$ можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке $a$. Справедливо и обратное : если последовательность $\{{x_{n}\}}$ такова, что для любого $\varepsilon >0$ можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится.

Определение. Последовательность $x_{n}$ называется последовательностью Коши или фундаментальной, если $\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon ),\forall n,m>N(\varepsilon ):\mid x_{n}-x_{m}\mid <\varepsilon$

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность $\{{x_{n}\}}$ сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть $\{{x_{n}\}}$ сходится. $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\forall n,m>N(\varepsilon ):\mid x_{n}-x_{m}\mid <\varepsilon$

$\forall p\in N\mid x_{n+p}-x_{n}\mid \leq \mid x_{n+p}-x\mid <2\varepsilon ,\forall n>N(\varepsilon )$

Достаточность. Пусть $\{{x_{n}\}}$ - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и ${\bar {x}}={\underline {x}}$.

Так как последовательность фундаментальна, то $\forall \varepsilon >0\quad \exists x_{N}$, в $\varepsilon$-окрестности которой существуют все элементы после $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{N-1}$.

Предположим, $A=max\{{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|,...,|x_{N-1}|,|x_{n}-\varepsilon |,|x_{n}+\varepsilon |\}}$.

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. $\{{x_{n}\}}$ - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса (${\bar {x}};{\underline {x}}$) < ($x_{n}-\varepsilon ;x_{n}+\varepsilon$).

$0\leq {\bar {x}}-{\underline {x}}<2\varepsilon$ в силу произвольности $\varepsilon$

${\bar {x}}-{\underline {x}}=0$

${\bar {x}}={\underline {x}}$