Предел последовательности/Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Определение. Последовательность $\{{x_{n}\}}$ не возрастает(не убывает), если $x_{n+1}\leq x_{n}(x_{n+1}\geq x_{n})$ для $\forall n\in N$.

Определение. Последовательность $\{{x_{n}\}}$ возрастает (убывает), если $x_{n+1}>x_{n}(x_{n+1}<x_{n})$ для $\forall n\in N$.

Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема. Если $\{{x_{n}\}}$ - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если $\{{x_{n}\}}$ - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность $x_{n}$ ограничена.

В силу ограниченности $x_{n}\exists \inf _{n\in N}x_{n}={\underline {x}}$, $\exists \sup _{n\in N}x_{n}={\bar {x}}$

1) Если последовательность не убывает, то $\lim _{n\to \infty }={\bar {x}}$

2) Если последовательность не возрастает, то $\lim _{n\to \infty }={\underline {x}}$

Рассмотрим первый случай.

По определению $\sup$ : $\forall \varepsilon >0\exists x_{N}:x_{N}>{\bar {x}}-\varepsilon ,x_{n}\leq {\bar {x}}0\leq -x_{N}<\varepsilon$

Т.к. $\{{x_{n}\}}$ не убывает, то при $n\leq Nx_{N}\leq x_{n}\leq {\bar {x}}$

$0<{\bar {x}}-x_{n}\leq {\bar {x}}-x_{n}<\varepsilon$ при $n\leq N$

$\forall \varepsilon >0\exists N:$ при $n\leq N|{\bar {x}}-x_{n}|<\varepsilon$.

Второй случай рассматривается аналогично.