Предел последовательности/Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Определение. Последовательность не возрастает(не убывает), если для .


Определение. Последовательность возрастает (убывает), если для .


Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.


Теорема. Если - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность ограничена.

В силу ограниченности ,

1) Если последовательность не убывает, то

2) Если последовательность не возрастает, то

Рассмотрим первый случай.

По определению  :

Т.к. не убывает, то при

при

при .

Второй случай рассматривается аналогично.