Предел последовательности/Понятие сходящейся последовательности

Определение. Говорят, что последовательность $\{{x_{n}\}}$ является сходящейся, если $\exists$ $a$ : $\{{x_{n}-a\}}$ - бесконечно малая последовательность. Число $a$ в этом случае называется пределом последовательности $\{{x_{n}\}}$.

Определение. Число a называется пределом последовательности $\{a_{n}\}$ (пишут $a={\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{n}$), если $\forall \varepsilon >0\exists N(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N.$

Теорема о единственности предела.  Если $\{a_{n}\}$- сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство. Пусть $a=\lim a_{n},b=\lim a_{n},a\not =b.$ для определённости $a<b$ имеем:

$\forall \varepsilon >0\exists N_{1}(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N_{1}.\forall \varepsilon >0\exists N_{2}(\varepsilon ):|a_{n}-b|<\varepsilon ,\forall n>N_{2}.$

$\varepsilon ={\frac {b-a}{2}}>0N=\max \left\{N_{1}\left({\frac {b-a}{2}}\right),N_{2}\left({\frac {b-a}{2}}\right)\right\}\forall n>N$

$|a_{n}-a|<{\frac {b-a}{2}},{\frac {a-b}{2}}<(a_{n}-a)<{\frac {b-a}{2}},{\frac {3a-b}{2}}<a_{n}<{\frac {a+b}{2}}.$

$|a_{n}-b|<{\frac {b-a}{2}},{\frac {a-b}{2}}<(a_{n}-b)<{\frac {b-a}{2}},{\frac {a+b}{2}}<a_{n}<{\frac {3b-a}{2}}$.

Получили противоречие $\Rightarrow$ предел единственный.

Доказательство. Пусть $\lim _{n\to \infty }$ $=$ $a$ $(x_{n}\to a$ при $n\to \infty )$

$\{{x_{n}-a\}}$ - бесконечно малая последовательность. Положим $x_{n}$ $-$ $a$ $=$ $\alpha _{n}$, $x_{n}$ $=$ $a$ $+$ $\alpha _{n}$, $\alpha _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

Предположим, что $x_{n}$ $=$ $b$ $+$ $\beta _{n}$, где $\beta _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$a$ $+$ $\alpha _{n}$ $=$ $b$ $+$ $\beta _{n}$ $\Rightarrow$ $b$ $-$ $a$ $=$ $\alpha _{n}$ $-$ $\beta _{n}$ $\Rightarrow$ $b$ $-$ $a$ $=$ $0$, $b$ $=$ $a$.

Теорема. Сходящиеся последовательности ограничены.

Доказательство. Пусть $x_{n}\to a$ при $n\to \infty$

$x_{n}$ $=$ $a$ $+$ $\alpha _{n}$, $\alpha _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$\mid$ $x_{n}$ $\mid$ $=$ $\mid$ $a$ $+$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $<$ $\mid$ $a$ $\mid$ $+$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $<$ $\mid$ $a$ $\mid$ $+$ $c$, где $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $\leq$ $c$, $\forall$ $n$.