Предел последовательности/Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.

Доказательство .

Пусть , , , - бесконечно малая последовательность, , - бесконечно малая последовательность.

2. Если , , то

3. Если , , то

Доказательство .

, - бесконечно малая последовательность, , - бесконечно малая последовательность.

, где

Лемма . Если , то начиная с некоторого номера определена последовательность которая является ограниченной.

Доказательство .

Положим

При справедливо

при

при

4. Если , ≠ 0, то =

Доказательство .

В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности ограничена. С этого номера будем рассматривать последовательность

, - бесконечно малая последовательность.

, - бесконечно малая последовательность.

- бесконечно малая последовательность.