Предел последовательности/Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.

Доказательство .

Пусть $x_{n}\to a$, $y_{n}\to b$, $x_{n}=$ $a+$ $\alpha _{n}$, $\alpha _{n}$ - бесконечно малая последовательность, $y_{n}=$ $b+\beta _{n}$, $\beta _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$x_{n}+y_{n}=$ $(a+b)$ $+$ $(\alpha _{n}+\beta _{n})$

$x_{n}+y_{n}\to a+b$

2. Если $x_{n}\to a$, $y_{n}\to b$, то $x_{n}-y_{n}\to a-b$

3. Если $x_{n}\to a$, $y_{n}\to b$, то $x_{n}*y_{n}\to a*b$

Доказательство .

$x_{n}=$ $a+$ $\alpha _{n}$, $\alpha _{n}$ - бесконечно малая последовательность, $y_{n}=$ $b+\beta _{n}$, $\beta _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$x_{n}*y_{n}$ $=$ $(a+\alpha _{n})$ $*$ $(b+\beta _{n})$ $=$ $a*b$ $+$ $a*\beta _{n}$ $+$ $b*\alpha _{n}$ $+$ $\alpha _{n}*\beta _{n}$ $=$ $a*b$ $+$ $\gamma _{n}$, где $\gamma _{n}$ $=$ $a*\beta _{n}+b*\alpha _{n}+\alpha _{n}*\beta _{n}$

$x_{n}*y_{n}\to a*b$

Лемма . Если $y_{n}\to b$ ≠ $0$, то начиная с некоторого номера определена последовательность $1/(y_{n})$ которая является ограниченной.

Доказательство .

Положим $\varepsilon$ $=$ $\mid b\mid /2$

При $n>N(\varepsilon )$ справедливо $\mid y_{n}-b\mid$ $<$ $\varepsilon =$ $\mid b\mid /2$

$\mid b\mid =\mid (b-y_{n})+y_{n}\mid \leq \mid b-y_{n}\mid +\mid y_{n}\mid <\mid b\mid /2+\mid y_{n}\mid$ при $n>N(\varepsilon )$

$\mid y_{n}\mid >\mid b\mid /2$ при $n>N(\varepsilon )$

$1/\mid y_{n}\mid <2/\mid b\mid$

4. Если $x_{n}\to a$, $y_{n}\to b$ ≠ 0, то $x_{n}/{y_{n}}$ = $a/b$

Доказательство .

В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности $\{{1/y_{n}\}}$ ограничена. С этого номера будем рассматривать последовательность $\{{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}$

$\{{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}-a/b=$ ${\frac {x_{n}*b-a*y_{n}}{y_{n}*b}}$ $=$ ${\frac {1}{y_{n}}}$ $*(x_{n}-y_{n}*{\frac {a}{b}})$

$x_{n}=a+\alpha _{n}$, $\alpha _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$y_{n}=b+\beta _{n}$, $\beta _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

$x_{n}-{\frac {a}{b}}*y_{n}=a+\alpha _{n}-{\frac {a}{b}}*(b+\beta _{n})=a+\alpha _{n}-a-{\frac {a}{b}}*\beta _{n}$ - бесконечно малая последовательность.

${\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$