Предел последовательности/Сходимость и огранниченность. Предельный переход в неравенстве

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.  Если сходится, то она ограничена.
Доказательство. сходящаяся

Возьмём

Обозначим

Отсюда для обоих случаев


Замечание. обратное не верно, то есть из ограниченности не следует сходимость


Теорема о предельном переходе в неравенстве.  Пусть \\ тогда
Доказательство. (от противного)

Пусть .

- противоречие.


Теорема о промежуточной последовательности. 

Пусть

тогда

Доказательство.

Возьмём произвольный

, тогда