Предел последовательности/Числовая подпоследовательность
Определение. Подпоследовательностью называется числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности .
Другими словами, возьмем некоторую числовую последовательность , , , ..., . Возьмем вторую произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел . Выберем из последовательности элементы с номерами , , , ..., и расположим их в таком же порядке, как и числа , тогда получим:
- , , , ..., .
Это и будет подпоследовательность последовательности .
Определение. Если то - частичный предел последовательности
Теорема о частичных пределах сходящейся последовательности. Пусть тогда
Доказательство. Возьмём произвольное тогда
Возьмём произвольную . Обозначим тогда имеем: