Производные, дифференциалы

Производная и ее свойства. Правила вычисления производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

править

Производная и её свойства

править

Пусть функция   определена в некоторой окрестности   точки  . Пусть   - приращение аргумента в точке  , такое что  . Тогда соответствующее приращение функции:  

Определение. Если   конечный  , то этот предел называется производной функции   в точке  , и обозначается  .


Определение. Функция   называется дифференцируемой в точке   если  .


Пусть функции   и   определены в  .

Теорема. Если функции   и   дифференцируемы в точке  , то:
  1. функция   дифференцируема в точке   и  
  2. функция   дифференцируема в точке   и  
  3. если кроме того  , то   - дифференцируема в точке   и  .
Теорема о производной сложной функции.  \\Пусть функция   дифференцируема в точке   и  . Пусть функция   дифференцируема в точке  , тогда сложная функция   дифференцируема в точке   и справедливо равенство:  .
Доказательство. Пусть   - приращение аргумента   в точке   приращение  . Кроме того приращение  

Функция   дифференцируема в точке   по теореме о связи предела с бесконечно маленькой функцией:  , где  , функция   дифференцируема в точке   \\ 

 

Покажем, что   - бесконечно маленькая при  

  - бесконечно малая   - бесконечно малая функция.   дифференцируема в точке   она непрерывна в точке   - бесконечно малая при   - бесконечно малая при   по теореме о связи предела и бесконечно малой функции:   дифференцируема в точке  


Теорема о производной обратной функции.  Пусть функция   непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности  , пусть  , тогда обратная функция   дифференцируема в точке   и  
Доказательство.   - непрерывна и строго монотонна   обратная функция   определена в некоторой окрестности  , причем   непрерывна и строго монотонна в  

Пусть   - приращение аргумента   в точке  . Тогда обратная функция получит соответствующее приращение  , в силу строгой монотонности  . Функция   дифференцируема в точке  

Функция   непрерывна в  


Уравнение касательной и нормали

править

  - уравнение касательной к графику функции   в точке  

  - уравнение нормали к графику функции   в точке  

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

править

Пусть функция   определена на   и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале   определена функция  . Пусть функция   дифференцируема в некоторой точке  , то есть  . Тогда эта производная называется производной второго порядка функции   в точке  .

  ;  

Теорема (формула Лейбница).  Пусть   и   в точке  . Тогда в этой точке

 

Пусть функция   задана и дифференцируема на некотором интервале  , тогда   для  , причем  . Заметим, что функция   - это функция двух переменных   и  . Рассмотрим функцию   как функцию переменной   (фиксируем  ). Пусть   имеет производную в некоторой точке  . Тогда функция   имеет дифференциал в точке  .

Определение. Дифференциалом второго порядка в точке   называется дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке и обозначается:  
 


Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция   дифференцируема   раз на интервале   и   для некоторой точки  .

Определение. Дифференциалом порядка   функции   в точке   называется дифференциал от дифференциала   порядка в этой точке и обозначается:  
 


Формула Тейлора.

править

Пусть функция   дифференцируема в точке  , тогда  , где  ;   - бесконечно малая более высокого порядка чем  .

 

где  линейная функция, причем  .

Можно расписать, что  , т.е в окрестности точки   функция   ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции   найти многочлен порядка  , который обладает следующими свойствами:

 

Многочлен   будем писать в виде

 

Тогда:

 

Первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для   и подстановки  . Вторые равенства - это требуемые свойства многочлена.

Поскольку у   существует производная до n порядка включительно   можно найти коэффициенты  

Многочлен  ,   ,   - многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим  

Рассмотрим функцию   и вычислим

 

Т.о получим  ,   - остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция   определена на интервале   и в каждой точке   принадлежащей интервалу   имеем производную до   порядка включительно, тогда

 , где  

Теорема о единственности многочлена Тейлора.  Пусть функция   представлена в окрестности точки   многочлена

вида  ,тогда  

Доказательство. Если   где  , то это и есть её многочлен Тейлора.

Пусть есть другой многочлен

 

и

 

Надо показать, что коэффициенты одинаковы  

Пусть   сократим на  

 .

Пусть   сократим на   и т.д.   многочлен Тейлора единственен.