Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть - приращение аргумента в точке , такое что . Тогда соответствующее приращение функции:
Определение.Если конечный , то этот предел называется производной функции в точке , и обозначается .
Определение.Функция называется дифференцируемой в точке если .
Пусть функции и определены в .
Теорема.Если функции и дифференцируемы в точке , то:
функция дифференцируема в точке и
функция дифференцируема в точке и
если кроме того , то - дифференцируема в точке и .
Теорема о производной сложной функции. \\Пусть функция дифференцируема в точке и . Пусть функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедливо равенство: .
Доказательство.Пусть - приращение аргумента в точке приращение . Кроме того приращение
Функция дифференцируема в точке
по теореме о связи предела с бесконечно маленькой функцией: , где , функция дифференцируема в точке
\\
Покажем, что - бесконечно маленькая при
- бесконечно малая - бесконечно малая функция. дифференцируема в точке она непрерывна в точке - бесконечно малая при - бесконечно малая при по теореме о связи предела и бесконечно малой функции: дифференцируема в точке
Теорема о производной обратной функции. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности , пусть , тогда обратная функция дифференцируема в точке и
Доказательство. - непрерывна и строго монотонна обратная функция определена в некоторой окрестности , причем непрерывна и строго монотонна в
Пусть - приращение аргумента в точке . Тогда обратная функция получит соответствующее приращение , в силу строгой монотонности . Функция дифференцируема в точке
Пусть функция определена на и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале определена функция . Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , то есть . Тогда эта производная называется производной второго порядка функции в точке .
;
Теорема (формула Лейбница). Пусть и в точке . Тогда в этой точке
Пусть функция задана и дифференцируема на некотором интервале , тогда для , причем . Заметим, что функция - это функция двух переменных и . Рассмотрим функцию как функцию переменной (фиксируем ). Пусть имеет производную в некоторой точке . Тогда функция имеет дифференциал в точке .
Определение.Дифференциалом второго порядка в точке называется дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке и обозначается:
Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция дифференцируема раз на интервале и для некоторой точки .
Определение.Дифференциалом порядка функции в точке называется дифференциал от дифференциала порядка в этой точке и обозначается:
Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где ; - бесконечно малая более высокого
порядка чем .
где линейная функция, причем .
Можно расписать, что , т.е
в окрестности точки функция ведет себя как линейная. Поставим
более общую задачу: для функции найти многочлен порядка , который
обладает следующими свойствами:
Многочлен будем писать в виде
Тогда:
Первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для
и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства многочлена.
Поскольку у
существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты
Многочлен , , - многочлен Тейлора для
функции f(x).
Обозначим
Рассмотрим функцию и вычислим
Т.о получим , - остаточный член формулы Тейлора.
Пусть функция определена на интервале и в каждой точке
принадлежащей интервалу имеем производную до порядка включительно,
тогда
, где
Теорема о единственности многочлена Тейлора. Пусть функция представлена в окрестности точки многочлена
вида ,тогда
Доказательство.Если где , то это и есть её многочлен Тейлора.
Пусть есть другой многочлен
и
Надо показать, что коэффициенты одинаковы
Пусть сократим на
.
Пусть сократим
на и т.д. многочлен Тейлора
единственен.