Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Нормальные системы ЛДУ первого порядка

${\begin{cases}y_{1}'(x)=\sum _{j=1}^{m}a_{1j}(x)y_{j}(x)+f_{1}(x)\\y_{2}'(x)=\sum _{j=1}^{m}a_{2j}(x)y_{j}(x)+f_{2}(x)\\\dots \\y_{m}'(x)=\sum _{j=1}^{m}a_{mj}(x)y_{j}(x)+f_{m}(x)\end{cases}}$ где, $a_{ij}\in C(a,b)f_{i}\in C(a,b)$ - известные функции $y_{i}$ - искомые

$y_{1}(x_{0})=y_{1(0)},y_{2}(x_{0})=y_{2(0)},\dots ,t_{m}(x_{0})=y_{m(0)}$ - начальные условия.

Совокупность системы и начальных условий - задача Коши. В векторной форме: ${\overrightarrow {y'}}(x)=A(x)\cdot {\overrightarrow {y}}+{\overrightarrow {f}},{\overrightarrow {y}}(x_{0})={\overrightarrow {y_{0}}}$

Из теории общей теории нормальных систем следует, что задача Коши имеет единственное решение на всем интервале $(a,b)$. Решение нельзя продолжить.

Однородные системы ЛДУ. Определитель Вронского

Определение. Определитель Вронского системы вектор-функций называется определитель $W(x)=\det Y(x)$

$Y(x)={\begin{pmatrix}&{\overline {y_{1}}}(x)&{\overline {y_{2}}}(x)&&{\overline {y_{m}}}(x)\\&y_{11}(x)&y_{12}(x)&\dots &y_{1m}(x)\\&y_{21}(x)&y_{22}(x)&\dots &y_{2m}(x)\\&\dots &\dots &\dots &\dots \\&y_{m1}(x)&y_{m2}(x)&\dots &y_{mm}(x)\\\end{pmatrix}}$

Теорема. Пусть ${\overline {y}}_{1}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ - решение однородной системы. Тогда ${\overline {f}}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}{\overline {y}}_{1}(x)$ тоже является решением системы.

Доказательство. ${\overline {f}}'(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}{\overline {y}}'_{i}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}A{\overline {y}}_{i}(x)=A\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}{\overline {y}}_{i}(x)=A{\overline {y}}$. ${\overline {f}}'(x)=A{\overline {y}}\Rightarrow$ вектор-функция ${\overline {y}}$ является решением системы

Теорема. Если система ${\overline {y}}_{1}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ линейно зависима, то $W(x)\equiv 0$ на $(a,b)$.

Доказательство. $x_{0}\in (a,b)$ - фиксируем $\Rightarrow \exists c_{1}\dots c_{n}$ не все равные нулю и такие что: $c_{1}{\overline {y}}_{1}(x)+\dots +c_{n}{\overline {y}}_{n}(x)=0$ на $(a,b)$. Следовательно в точке $x_{0}:c_{1}{\overline {y}}_{1}(x_{0})+\dots +c_{n}{\overline {y}}_{n}(x_{0})=0\Rightarrow W=0$ в силу линейной зависимости системы. Так как $x$ - любое $\Rightarrow W\equiv 0$ на $(a,b)$

Теорема. Пусть ${\overline {y}}_{1}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ - система решений однородной системы ЛДУ. Если $W(x)=0$ хотя бы в одной точке $x_{0}\in (a,b)$, то система ${\overline {y}}_{1}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ линейно зависима и $W(x)\equiv 0$ на $(a,b)$

Доказательство. $W(x_{0})=0\Rightarrow$ столбцы линейно зависимы,

то есть система ${\overline {y}}_{1}(x_{0})\dots {\overline {y}}_{m}(x_{0})$ - линейно зависима, то есть существуют константы не все равные нулю и такие что $c_{1}^{o}{\overline {y}}_{1}(x_{0})+\dots +c_{m}^{o}{\overline {y}}_{m}(x_{0})={\overline {0}}$. Рассмотрим ${\overline {y}}(x)$ при произвольном $x:{\overline {y}}(x)=\sum \limits _{k=1}^{m}c_{k}^{o}{\overline {y}}_{k}(x)$. В силу теоремы 1 ${\overline {y}}(x)$ является решением системы ${\overline {y}}'=A{\overline {y}}$; ${\overline {y}}(x_{0})={\overline {0}}\Rightarrow {\overline {y}}\equiv {\overline {0}}$ - решение системы, значит система вектор-функций линейно зависима, а следовательно по теореме 2 $W\equiv 0$ на $(a,b)$.

Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы

Определение. Линейнонезависимая система ${\overline {y}}_{1}(x),{\overline {y}}_{2}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ состоит из решений однородной системы ЛДУ называется её фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема. ФСР существует

Доказательство. Фиксируем точку $x_{0}\in (a,b)$ и некоторый базис ${\overline {e}}_{1},{\overline {e}}_{2},\dots ,{\overline {e}}_{m}$ в пространстве $R^{m}$. Определим ${\overline {y}}_{j}(x)$ как решение задачи Коши

${\begin{cases}{\overline {y}}^{n}=A(x){\overline {y}}\\{\overline {y}}(x_{0})=e_{j},j=1,\dots ,m\end{cases}}$

$W(x_{0})=\det({\overline {e}}_{1}|{\overline {e}}_{2}|\dots |{\overline {e}}_{m})$. Система ${\overline {y}}_{1}(x),{\overline {y}}_{2}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ линейно независима $\Rightarrow$ является ФСР.

Теорема. Пусть ${\overline {y}}_{1}(x),{\overline {y}}_{2}(x),\dots ,{\overline {y}}_{m}(x)$ есть ФСР однородной системы ЛДУ, тогда всякое решение y(x) системы имеет вид:

$y(x)=\sum _{j=1}^{m}c_{j}{\overline {y}}_{j}(x)$ - формула общего решения, где $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$ - постоянные

Общее решение неоднородного уравнения

Пусть ${\overline {u}}_{1}(x),{\overline {u}}_{2}(x),\dots ,{\overline {u}}_{m}(x)$ - заданная ФСР однородного уравнения

$L_{m}[u]=0$. Тогда всякое решение неоднородного уравнения $L_{m}[u]=f$ имеет вид $u(x)=u_{0}(x)+\sum _{k=1}^{m}c_{k}u_{k}(x)$, где $u_{0}(x)$ - некоторое частное решение неоднородного уравнения $L_{m}[u]=f$.