Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

$A:L\rightarrow L$ (для комплексных пространств).

Определение. ${\vec {x}}\not ={\vec {0}}:A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$, где$x$ — это некоторое число, которое называют собственным вектором оператора А, а $\lambda$ - собственным значением.

$A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}},A{\vec {x}}=\mu {\vec {x}}\Rightarrow {\vec {0}}=(\lambda -\mu ){\vec {x}}\Rightarrow \lambda =\mu$ - каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

В пространстве L введём базис:${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}{\vec {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right),$ если$A_{e}$ -матрица оператора А, то$A_{e}X=\lambda X.$

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=\lambda x_{1}\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}=\lambda x_{n}\end{cases}}\rightarrow {\begin{cases}(a_{1,1}-\lambda )x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,n}x_{n}=0\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\dots +(a_{n,n}-\lambda )x_{n}=0\end{cases}}$

${\begin{vmatrix}(a_{1,1}-\lambda )&\dots &a_{1,n}\\\dots \\a_{n,1}&\dots &(a_{n,n}-\lambda )\end{vmatrix}}=F_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+\dots$

$F_{A}(\lambda )=det\left(A_{e}-\lambda E\right)$- характеристический многочлен оператора А.

Условие наличия собственных векторов: $F_{A}(\lambda )=0$ - хар-е ур-е ($\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ - корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.)

Теорема о независимости характеристического многочлена от выбора базиса.  \\$det\left(A_{e}-\lambda E\right)=det\left(A_{f}-\lambda E\right)$

Доказательство. ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}{\overset {T}{\rightarrow }}{\vec {f}}_{1},\dots ,{\vec {f}}_{n};A_{f}=T^{-1}A_{e}T;E=T^{-1}T=T^{-1}ET$

$det\left(A_{f}-\lambda E\right)=det\left(T^{-1}A_{e}T-\lambda E\right)=det\left(T^{-1}A_{e}T-T^{-1}(\lambda E)T\right)=det(T^{-1})det(A_{e}-\lambda E)det(T)=det(A_{e}-\lambda E).$

Свойства собственных векторов

1. ${\vec {x}}$ - собственный вектор оператора А. после умножения его на любое число не равное нулю, снова получится собственный вектор.
2. если ${\vec {x}}_{1}$ и ${\vec {x}}_{2}$ - два собственных вектора соответствующих собственному значению $\lambda$, то любая их линейная комбинация $\alpha {\vec {x}}_{1}+\beta {\vec {x}}_{2}\not ={\vec {0}}$- будет снова собственным вектором.
3. если$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ - характерестические корни, причём $\lambda _{i}\not =\lambda _{j}$ при $i\not =j$, каждому соответствует собственный вектор $\lambda _{1}\rightarrow {\vec {x}}_{1},\lambda _{2}\rightarrow {\vec {x}}_{2},\dots$, то система ${\vec {x}}_{1},\dots ,{\vec {x}}_{k}$ линейно независима.

Доказательство. Предположим противное: $(\ast )\exists \mu _{1},\dots ,\mu _{k}$ - числа не все равные нулю и такие что: $\mu _{1}{\vec {x}}_{1}+\dots +\mu _{k}{\vec {x}}_{k}={\vec {0}}.$

$A(\mu _{1}{\vec {x}}_{1}+\dots +\mu _{k}{\vec {x}}_{k})=\mu _{1}A({\vec {x}}_{1})+\dots +\mu _{k}A({\vec {x}}_{k})=\mu _{1}\lambda _{1}{\vec {x}}_{1}+\dots +\mu _{k}\lambda _{k}{\vec {x}}_{k}={\vec {0}}(\ast \ast )$

для $k=1$ - верно, т.к. собственный вектор не может быть нулевым.

Пусть верно для $k-1$

Докажем, что верно для $k$  : $(\ast )\rightarrow$пусть$\mu _{1}\not =0;$

$\mu _{1}\lambda _{1}{\vec {x}}_{1}+\mu _{2}\lambda _{1}{\vec {x}}_{2}+\dots +\mu _{k}\lambda _{1}{\vec {x}}_{k}={\vec {0}}$(вычтем из $(\ast \ast )$)

$\mu _{2}(\lambda _{2}-\lambda _{1}){\vec {x}}_{2}+\dots +\mu _{k}(\lambda _{k}-\lambda _{1}){\vec {x}}_{k}={\vec {0}}\Rightarrow$ система из k - 1 собственных векторов линейно зависима $\Rightarrow$получили противоречие $\Rightarrow \mu _{2},\dots ,\mu _{k}=0\Rightarrow \mu _{1}{\vec {x}}_{1}={\vec {0}}\Rightarrow {\vec {x}}_{1}={\vec {0}}$-получили противоречие $\Rightarrow$система ${\vec {x}}_{1},\dots ,{\vec {x}}_{k}$ линейно независима.

Оператор простой структуры

Определение. Оператором простой структуры называется оператор, из собственных векторов которого можно построить базис.

Теорема. $A:L\rightarrow L;A_{e}=\left({\begin{smallmatrix}\lambda _{1}&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &\lambda _{n}\end{smallmatrix}}\right)\Leftrightarrow {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$-базис из собственных векторов оператора А.

Доказательство. В обратную сторону:

$\left.{\begin{matrix}A({\vec {e}}_{1})=&\lambda _{1}{\vec {e}}_{1}=\lambda {\vec {e}}_{1}+0{\vec {e}}_{2}+\dots +0{\vec {e}}_{n}\\A({\vec {e}}_{2})=&\lambda _{2}{\vec {e}}_{2}=0{\vec {e}}_{1}+\lambda _{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +0{\vec {e}}_{n}\\&\dots \\A({\vec {e}}_{n})=&\lambda _{n}{\vec {e}}_{n}=0{\vec {e}}_{1}+0{\vec {e}}_{2}+\dots +\lambda _{n}{\vec {e}}_{n}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow A_{e}=\left({\begin{smallmatrix}\lambda _{1}&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &\lambda _{n}\end{smallmatrix}}\right)$

В прямую сторону:

в базисе ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ матрица оператора имеет вид $A_{e}=\left({\begin{smallmatrix}\lambda _{1}&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &\lambda _{n}\end{smallmatrix}}\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow A({\vec {e}}_{1})=\lambda _{1}{\vec {e}}_{1}+0{\vec {e}}_{2}+\dots +0{\vec {e}}_{n}=\lambda _{1}{\vec {e}}_{1}\Rightarrow {\vec {e}}_{1}$- собственный вектор

$\vdots$

$\Rightarrow A({\vec {e}}_{n})=0{\vec {e}}_{1}+0{\vec {e}}_{2}+\dots +\lambda _{n}{\vec {e}}_{n}=\lambda _{n}{\vec {e}}_{n}\Rightarrow {\vec {e}}_{n}$- собственный вектор

$\Rightarrow {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ - базис из собственных векторов оператора А.