Спектральная теория

Спектр линейного оператора и его свойства

Оператор $A:X\to X$, где $X$ - банахово пространство (комплексное) Рассмотрим $A-\lambda I$, $\lambda \in \mathbb {C}$, $\lambda$ - параметр.

Определение. Число $\lambda \in \mathbb {C}$ называется регулярной точкой(значением)

оператора $A$, если

1. $Im(A-\lambda I)=X$
2. $\exists (A-\lambda I)^{-1}$ - резольвента, обозначается $R_{\lambda }$
3. $R_{\lambda }$ - ограниченный оператор

Множество всех регулярных значений обозначается $\rho (A)$ и называется резольвентным множеством.

$\mathbb {C} \setminus \rho (A)$ - называется спектром оператора $A$ и обозначается $\mathbf {Sp} (A)$

$(A-\lambda I)x=y$; $\lambda \in \rho (A)\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $\{$Решение $\exists$ для $\forall y$, решение единственное, непрерывно зависит от данных $\}$

Замечание. Если оператор $A\in L(X)$, то $\lambda$ является регулярным значением

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}1)Im(A-\lambda I)=X,\\2)Ker(A-\lambda I)=0\end{matrix}}\right\}$

Определение. Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$, если $\exists x\neq 0:Ax=\lambda x$. $x$ называется собственным вектором, соответствующим собственному значению $\lambda$

$X_{\lambda }$ - собственное подпространство отвечающее собственным значениям $\lambda$

$\{x\in X_{\lambda }|Ax=\lambda x\}\cup \{0\}$

$(A-\lambda I)x=0\Rightarrow$ если $\lambda$ - собственное значение, то $\lambda \in \mathbf {Sp} (A)$

Определение. Множество всех собственных значений оператора $A$ называется точечным спектром, $\mathbf {Sp} (A)\setminus$ (точечный спектр) называется непрерывным спектром.

Теорема. Пусть оператор $A\in L(X)$. Если $|\lambda |>\|A\|$, то $\lambda \in \rho (A)$. (то же самое, что сказать: $\mathbf {Sp} (A)\in \{|\lambda |\leq \|A\|\}$)

Доказательство. Рассмотрим уравнение $(A-\lambda I)x=y,|\lambda |>\|A\|$

$(I-{\frac {1}{\lambda }}A)x={\frac {y}{-\lambda }}\Rightarrow$ решение представимо рядом Неймана: $x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda ^{k}}}A^{k}{\frac {y}{-\lambda }}\Rightarrow R_{\lambda }=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda ^{k+1}}}A^{k}\Rightarrow$ выполнены все три свойства из определения регулярной точки. Оценим: $\|R_{\lambda }\|\leq \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|A\|^{k}}{|\lambda |^{k+1}}}={\frac {1}{|\lambda |}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {\|A\|}{|\lambda |}}}}={\frac {1}{|\lambda |-\|A\|}}$

$|R_{\lambda }|\leq {\frac {1}{|\lambda |-\|A\|}}$

Теорема. $\rho (A)$ - открытое множество ($\mathbf {Sp} (A)$ - замкнутое)

Доказательство. Пусть $\lambda \in \rho (A)$

$(A-(\lambda +\Delta \lambda )I)x=y\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=\Delta \lambda x+y\Leftrightarrow x=\Delta \lambda R_{\lambda }x+R_{\lambda }y\Rightarrow$ если $|\Delta \lambda |\|R_{\lambda }\|<1$, то $\exists (A-(\lambda +\Delta \lambda )I)^{-1}\in L(X)\Rightarrow |\Delta \lambda |<\mu ={\frac {1}{\|R_{\lambda }\|}}\Rightarrow \lambda +\Delta \lambda \in \rho (A)\Rightarrow \forall$ точка входит со своей окрестностью $\Rightarrow \rho (A)$ - открытое множество

Теорема. Справедливо тождество Гильберта:

$R_{\mu }-R_{\lambda }=(\mu -\lambda )R_{\mu }R_{\lambda },\forall \mu ,\lambda \in \rho (A)$

Доказательство. $(\mu -\lambda )I=(\mu -\lambda )I$; $(A-\lambda I)-(A-\mu I)=(\mu -\lambda )I$ применим $R_{\lambda }$ к обеим частям:

$I-R_{\lambda }(A-\mu I)=(\mu -\lambda )R_{\lambda }$; применим $R_{\mu }$ справа:

$R_{\mu }-R_{\lambda }(A-\mu I)R_{\mu }=(\mu -\lambda )R_{\lambda }R_{\mu }$

$R_{\mu }-R_{\lambda }=(\mu -\lambda )R_{\lambda }R_{\mu }=(\mu -\lambda )R_{\mu }R_{\lambda }$

Теорема. Для всякого линейного непрерывного оператора $A=L(X)$, действующего в нетривиальном комплексном банаховом пространстве, его спектр не пуст.

Доказательство. Предположим, что $\rho (A)=\mathbb {C}$, $\forall \lambda \quad \exists R_{\lambda }\quad \forall x\in X\quad \forall y\in X^{*}$

Рассмотрим: $\lim _{\Delta \lambda \rightarrow 0}{\frac {f(\lambda +\Delta \lambda )-f(\lambda )}{\Delta \lambda }}=\lim _{\Delta \lambda \rightarrow 0}\left\langle y,{\frac {R_{\lambda +\Delta \lambda }-R_{\lambda }}{\Delta \lambda }}x\right\rangle =\left\langle y,R_{\lambda }^{2}x\right\rangle \Rightarrow f(\lambda )$ - аналитическая функция комплексного переменного заданная на $\mathbb {C}$

$|f(\lambda )|\leq \|y\|_{X^{*}}$. $\|R_{\lambda }\|\|x\|_{X^{*}}\leq {\frac {1}{|\lambda |-\|A\|}}\|y\|_{X^{*}}\|x\|_{X},\forall \lambda >\|A\|\Rightarrow$

$\Rightarrow$ по теореме Лиувиля: $f(\lambda )\equiv const$, причем $const=0$

$f(\lambda )=\left\langle y,R_{\lambda }x\right\rangle =0\quad \forall y\in X^{*},\forall x\in X\Rightarrow R_{\lambda }x=0,\forall x\in X\Rightarrow R_{\lambda }=0$ - противоречие $\Rightarrow \rho (A)\neq \mathbb {C}$