Степенные ряды

Степенные ряды

Функциональный ряд вида $c_{0}+c_{1}(x-x_{0})+c_{2}(x-x_{0})^{2}+\dots +c_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}$ (где $x_{0}$ и $c_{0},c_{1},\dots ,c_{n},\dots$ - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке $x=x_{0}$ всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость $\forall x$. С помощью замены $t=x-x_{0}$ данный степенной ряд можно привести к виду $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}t^{n}$ - сходится при $t=0$.

Теорема Абеля.  Пусть степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ сходится в какой-то точке $x_{1}\not =0$. Тогда этот ряд сходится $\forall x:|x|<|x_{1}|$ (абсолютно).

Доказательство. Ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ сходится в точке $x_{1}$ в обычном смысле $\Rightarrow \sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{1}^{n}$ сходится $\Rightarrow$ числовая последовательность $\{c_{n}x_{1}^{n}\}$ сходится к нулю $\Rightarrow \{c_{n}x_{1}^{n}\}$ ограничена, то есть $\exists M>0:\forall n|c_{n}x_{1}^{n}|<M$

Рассмотрим $\forall x:|x|<|x_{1}|$. Обозначим $q=|{\frac {x}{x_{1}}}|\Rightarrow 0<q<1$

Рассмотрим $\sum \limits _{n=0}^{\infty }|c_{n}x^{n}|$: $|x_{n}x^{n}|=|c_{n}x_{1}^{n}{\frac {x^{n}}{x_{1}^{n}}}|=|c_{n}x_{1}^{n}||{\frac {x}{x_{1}}}|^{n}\leq Mq^{n}\Rightarrow \sum \limits _{n=0}^{\infty }Mq^{n}$ сходится, следовательно числовой ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }|c_{n}x^{n}|$ (для фиксированного $x$) сходится по признаку сравнения $\Rightarrow$ $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ сходится абсолютно на множестве $|x|<|x_{1}|$

Следствие. Если степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ расходится в точке $x_{2}$, то этот ряд расходится $\forall x:|x|>|x_{2}|$.

Определение. Если $R$ - неотричательное число или $+\infty$ обладает тем свойством, что степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ сходится на множестве $|x|<R$ и расходится на множестве $|x|>R$, то $R$ называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал $(-R,R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка $\pm R$

Теорема. У всякго степенного ряда есть радиус сходимости.

Доказательство. Пусть $A$ - множество всех неотрицательных чисел, в которых степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ сходится.

Так как ряд сходится в точке $x=0\Rightarrow A\not =\varnothing \Rightarrow \exists supA$ (возможно равная $+\infty$). Обозначим $R=supA$. Докажем, что $R$ - радиус сходимости степенного ряда.

Фиксируем $\forall x:|x|<R\Rightarrow$ по определению точной верхней граним $\exists$ число $c\in A:|x|<c<R$ так как $c\in A\Rightarrow$ ряд сходится в точке $c\Rightarrow$ по теореме Абеля ряд сходится на множестве $|x|<c$, в частности в точке $x$. Так как $x$ - любая точка, такая что $|x|<R\Rightarrow$ ряд сходится на множестве $|x|<R$.

Фиксируем $\forall |x|>R\Rightarrow \exists$ число в $|x|>b>R$ такое что $b>r\Rightarrow b\not \in A$. То есть степенной ряд расходится в точке $b\Rightarrow$ степенной ряд расходится в точке $x$ (по следствию из теоремы Абеля) $\Rightarrow$ ряд расходится на множестве $|x|>R$. Следовательно $R=\sup A$ - радиус сходимости степенного ряда $\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$.

Формула Коши-Адамара:

$R=1/(\varlimsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}})$, где получаем $R=0$ при $\varlimsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}=\infty$ и $R=\infty$ при $\varlimsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}=0$

Ряды Тейлора

Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_{0}$ производные любого порядка, составим формальный ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$. Этот ряд называется рядом Тейлора функции $f(x)$ с центром в точке $x_{0}$. Если $x_{0}=0$ то ряд Тейлора называется рядом Макларена.

Теорема (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора).  Пусть функция имеет в $U_{\delta }(x_{0})$ производняе любого порядка, причем все производняе $f^{(n)}(x)$ ограничены в совокупности в $U_{\delta }(x_{0})$, то есть $\exists M>0:\forall n=0,1,\dots \forall x\in U_{\delta }(x_{0})|f^{(n)}(x)|<M$.

Тогда функцию $f(x)$ можно разложить в ряд Тейлора в $U_{\delta }(x_{0})$. $f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n},x\in U_{\delta }(x_{0})$.

Доказательство. Достаточно доказать, что остаточный член формулы Тейлора $R_{n}(x)\rightarrow [x\to \infty ]{}0,x\in U_{\delta }(x_{0})$.

Так как функция $f(x)$ имеет производные любого порядка в $U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow$ функцию $f(x)$ можно записать по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то есть $R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$, $\xi$ лежит между $x$ и $x_{0}$.

$|R_{n}(x)|={\frac {|f^{(n+1)}(\xi )|}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1}\leq {\frac {M}{(n+1)!}}\delta ^{n+1},\forall x\in U_{\delta }(x_{0})$.

Рассмотрим числовой ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {M\delta ^{n+1}}{(n+1)!}}$. По признаку Деламбера числовой ряд сходится, так как $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {M\delta ^{n+2}(n+1)!}{(n+2)!M\delta ^{n+1}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\delta }{n+2}}=0<1\Rightarrow$ выполнен необходимый признак сходимости числового ряда $\Rightarrow \sum \limits _{0\to \infty }{\frac {M\delta ^{n+1}}{(n+1)!}}=0$. Тогда $R_{n}(x)\rightarrow [x\to \infty ]{}0,x\in U_{\delta }(x_{0})$.