Сходимость знакоположительных рядов

Определение. Числовой ряд $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ называется знакоположительным, если $x_{k}\geq 0$ для любого $k$.

Ограниченность частных сумм

Теорема.

Знакоположительный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность $S_{n}$ ограничена.

Доказательство.

Если ряд сходится, то последовательность ограничена как сходящаяся подпоследовательность. Обратно, $S_{n+1}-S_{n}=x_{n+1}\geq 0$, поэтому последовательность $S_{n}$ не убывает. Тогда ее сходимость следует из ограниченности по теореме Вейерштрасса.

Оценочный признак

Теорема (первый признак сравнения).  Даны числовые ряды $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$, где $0\leq a_{n}\leq b_{n},\forall n$

Тогда:

1. Если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ - сходится, то $n$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.
2. Если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ - расходится, то и ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ расходится.

Теорема (второй признак сравнения).  Даны числовые ряды $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$, $a_{n}\geq 0,b_{n}>0,\forall n$

Пусть $\exists \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L>0$, тогда ряды сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера

Теорема (признак Даламбера).  Дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},a_{n}>0\forall n$. Пусть $\exists \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lambda$, тогда

1. Если $\lambda <1$ - ряд сходится
2. Если $\lambda >1$ - ряд расходится

Доказательство.

1. Пусть $0\leq \lambda <1$, тогда $\exists q:\lambda <q<1$

$\exists \lim {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lambda \Rightarrow$ для $\varepsilon =q-\lambda >0$ $\exists N:\forall n>N\quad |{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\lambda |<\varepsilon \Rightarrow$

$\Rightarrow -(q-\lambda )<{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\lambda <q-\lambda$; ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q\forall n>N\Rightarrow$

$\Rightarrow a_{n+1}<qa_{n},\forall n>N\Rightarrow a_{N+2}<qa_{N+1},a_{N+3}<qa_{N+2}<q^{2}a_{N+1}....$

$a_{n+k}<q^{k-1}a_{N+1}\quad \forall k\geq 2$

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }q^{k-1}$ - сходится, так как $|q|<1\Rightarrow$ ряд $\sum _{k=2}^{\infty }q^{k-1}$ - сходится $\Rightarrow$ по I признаку сравнения ряд $\sum _{k=2}^{\infty }a_{N+k}$ - сходится $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ - сходится.

2. Пусть $\lambda >1$. Пусть $\varepsilon >0:\lambda -\varepsilon >1$

$\exists \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lambda \Rightarrow$ для $\varepsilon >0\quad N:\forall n>N\quad |{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\lambda |<\varepsilon$

$\lambda -\varepsilon <{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\lambda +\varepsilon \forall n>N$; ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>\lambda -\varepsilon >1,\forall n>N$

$\Rightarrow a_{n+1}>a_{n}\forall n>N$; $0<a_{N+1}<a_{N+2}<...$

$\Rightarrow a_{n}>a_{N=1}>0,\forall n\geq N+2\Rightarrow$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\geq a_{N+1}>0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0\Rightarrow$ не выполнен необходимый признак сходимости $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится.

Признак Коши

Теорема. Дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, $a_{n}\geq 0,\forall n$. Пусть $\exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lambda$

тогда:

1. Если $\lambda <1$ ряд сходится;
2. Если $\lambda >1$ ряд расходится.

Доказательство. Заметим, что $\lambda \geq 0$

1. Пусть $0\leq N\leq 1$, тогда $\exists q:\lambda <q<1$

$\exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lambda \Rightarrow$ для $\varepsilon =q-\lambda >0\exists N:\forall n>N$

$|{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-\lambda |<q-\lambda \Rightarrow -(q-\lambda )<{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-\lambda <q-\lambda ,\forall n>N$

${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<q$, $\forall n>N\Rightarrow a_{n}<q^{n},\forall n>N$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}$ - сходится $\Rightarrow$ по первому признаку сравнения $\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}$ - сходится $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ - сходится.

2. $\lambda >1$. Рассмотрим $\varepsilon >0:\lambda -\varepsilon >1$

$\exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lambda \Rightarrow$ для данного $\varepsilon >0:\exists N:\forall n>N$

$|{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-\lambda |<\varepsilon \Rightarrow {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>\lambda -\varepsilon >1\forall n>N\Rightarrow a_{n}>1\forall n>N\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\geq 1\rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0\Rightarrow$ не выполнен необходимый признак сходимости $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится.

Интегральный признак

Теорема. Пусть функция $f(x)$ определена на $[1,+\infty )$, неотрицательна на $[1,+\infty )$ и $f(x)$ монотонно не возрастает на $[1,+\infty )$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ и интеграл $\int _{1}^{+\infty }f(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.