Пусть даны две случайные величины и с законами распределения и
соответственно. Тогда над случайными величинами можно произвести следующие операции:
Случайная величина , где — постоянная, имеет закон распределения .
Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где . Две случайные величины называются независимыми, если . Для независимых случайных величин и получим: .
Случайная величина принимает значения вида с вероятностями , где .
Числовые характеристики дискретных случайных величинправить
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, которое вычисляется по формуле .
Свойства математического ожидания:
, где ;
, где ;
для любых и ;
, если и независимы.
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .
Для вычисления дисперсии используют более удобную формулу .
Свойства дисперсии:
, где ;
, где ;
, если и независимы.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина .
В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекли два шара. Случайная величина — число вынутых белых шаров.
Построить закон распределения;
построить многоугольник распределения;
найти и построить функцию распределения случайной величины X;
найти , , .
Решение:
1. Для построения закона распределения необходимо найти все возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности. Число вынутых белых шаров может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина принимает значения , и . Вероятности равны: ; ; .
Составим закон распределения случайной величины :
X
0
1
2
Проверим, что для закона распределения выполняется равенство .
2. Для построения многоугольника распределения необходимо последовательно соединить точки с координатами , (рис. 3).
3. Функция распределения случайной величины имеет следующий вид: