Теория вероятностей и математическая статистика/Законы распределения случайных величин

Рассмотрим некоторые законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона и непрерывных — равномерный, показательный и нормальный.

Биномиальный закон распределения

Пусть проводится $n$ испытаний Бернулли, в результате каждого из которых событие $A$ может появиться с вероятностью $p$ и не появиться с вероятностью $q=1-p$. В серии из $n$ испытаний событие $A$ может появиться $k$ раз, $k=0,1,\ldots ,n$. Рассмотрим дискретную случайную величину $X$ - число появлений события $A$ в $n$ испытаниях. Случайная величина $X$ имеет следующий закон распределения вероятностей:

$x_{k}$	0	1	2	$\ldots$	$k$	$\ldots$	$n$
$p_{k}$	$P_{n}(0)$	$P_{n}(1)$	$P_{n}(2)$	$\ldots$	$P_{n}(k)$	$\ldots$	$P_{n}(n)$

Вероятности $P_{n}(k)$ вычисляются по формуле $P_{n}(k)=P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$.

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным с параметрами $n$ и $p$.

Функция биномиального распределения имеет вид $F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\\displaystyle \sum _{k<x}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}&\quad 0<x\leq n,\\1,&\quad n<x\end{cases}}$

$\mathbf {M} X=np,\mathbf {D} X=npq$.

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина $X$ называется распределенной по закону Пуассона с параметром $\lambda$, если она принимает значения $k=0,1,\ldots ,n$ с вероятностями $p_{k}=\mathbf {P} (X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$, $\mathbf {M} X=\mathbf {D} X=\lambda$.

Распределение Пуассона с параметром $\lambda =np$ является хорошей аппроксимацией биномиального закона распределения при больших значениях $n$ и малых значениях $p$.

Равномерный закон распределения

Кусочно-линейная функция $F(x)$, равномерный рост на интервале от 10 до 30.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке $[a,b]$, если ее плотность имеет вид $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&\quad x\in [a,b],\\0,&\quad x\notin [a,b].\\\end{cases}}$

Функция распределения определена следующим образом: $F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq a,\\{\frac {x-a}{b-a}}&\quad x\in [a,b],\\1,&\quad x>b;\\\end{cases}}$

$\mathbf {M} X={\frac {a+b}{2}},\mathbf {D} X={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

Показательный закон распределения

Показательный закон функции $F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&\quad x\geq 0,\\0,&\quad x<0.\\\end{cases}}$ распределения для лямбда от 0 до 2

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром $\lambda >0$, если ее плотность распределения имеет вид $f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&\quad x\geq 0,\\0,&\quad x<0.\\\end{cases}}$

Функция распределения имеет вид $F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&\quad x\geq 0,\\0,&\quad x<0.\\\end{cases}}$

$\mathbf {M} X={\frac {1}{\lambda }},\mathbf {D} X={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

Нормальный закон распределения

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $\sigma$ (записывается $X\sim N(a,\sigma )$), если ее плотность распределения имеет вид $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

Функция распределения имеет вид $F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(t-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\mathrm {d} t$, $\mathbf {M} X=a,\mathbf {D} X=\sigma ^{2}$.

Если $a=0$ и $\sigma =1$, то нормальное распределение называют стандартным нормальным. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$, а функция распределения $F_{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\mathrm {d} t$.

Значения этих функций находятся из специальных таблиц приложений 1 и 2.

Введенная ранее функция $\Phi (x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\mathrm {d} t$ и $F_{0}(x)$ связаны соотношением $F_{0}(x)=0.5+\Phi (x)$.

Тогда значение функции распределения нормальной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ может быть найдено по формуле $F(x)=0.5+\Phi ({\frac {x-a}{\sigma }})$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ в промежуток $(\alpha ,\beta )$ равна: $\mathbf {P} (\alpha <X<\beta )=\Phi ({\frac {\beta -\alpha }{\sigma }})-\Phi ({\frac {\alpha -a}{\sigma }})$

Вероятность отклонения нормальной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ от своего математического ожидания, т. е. вероятность неравенства $|X-a|<\sigma$, равна: $\mathbf {P} (|X-a|<\delta )=2\Phi ({\frac {\delta }{\sigma }})$.

Если ${\frac {\delta }{\sigma }}=3$, то $\mathbf {P} (|X-a|<3\sigma )=0.9973$.

Примеры

Пример 1

Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мяча в корзину при $3$ бросках, если вероятность попадания каждый раз равна $0.8$.

Решение:

Здесь случайная величина $X$ — число попаданий мяча в корзину при $3$ бросках. Так как броски являются независимыми испытаниями, в каждом из которых событие "попасть в корзину" появляется с одинаковой вероятностью, то случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=3$, $p=0.8$.

$P(X=0)=P_{3}(0)=C_{3}^{0}(0.8)^{0}(0.2)^{3}=0.008$,

$P(X=1)=P_{3}(1)=C_{3}^{1}(0.8)^{1}(0.2)^{2}=0.096$,

$P(X=2)=P_{3}(2)=C_{3}^{2}(0.8)^{2}(0.2)^{1}=0.384$,

$P(X=3)=P_{3}(3)=C_{3}^{3}(0.8)^{3}(0.2)^{0}=0.512$.

$x_{k}$	0	1	2	3
$p_{k}$	$P_{3}(0)=0.008$	$P_{3}(1)=0.096$	$P_{3}(2)=0.384$	$P_{3}(3)=0.512$

Функция распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид: $F(x)=\displaystyle \sum _{x_{i}<x}\mathbf {P} (X=x_{i})={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\0.008,&\quad 0<x\leq 1.\\0.104,&\quad 1<x\leq 2.\\0.488,&\quad 2<x\leq 3.\\1,&\quad x>3.\\\end{cases}}$

Пример 2

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна $0.02$. Сделано $500$ выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель будет не меньше $3$ и не больше $5$?

Решение:

Случайная величина $X$ — число попаданий в цель при $500$ выстрелах. $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=500$ и $p=0.02$. Используя приближение Пуассона с параметром $\lambda =np=10$, получим: $\mathbf {P} (3\leq X\leq 5)=\mathbf {P} (X=3)+\mathbf {P} (X=4)+\mathbf {P} (X=5)={\frac {e^{-10}10^{3}}{3!}}+{\frac {e^{-10}10^{4}}{4!}}+{\frac {e^{-10}10^{5}}{5!}}=0.064$

Пример 3

Цена деления шкалы измерительного прибора равна $0.2$. Показания прибора округляют до ближайшего числа на шкале. Полагая, что ошибка измерения $X$ распределена по равномерному закону, найти дисперсию $\mathbf {D} X$.

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии равномерно распределенной на отрезке $[a;b]$ случайной величины $X(a=0,b=0.2):\mathbf {D} X={\frac {(b-a)^{2}}{12}}={\frac {(0.2)^{2}}{12}}={\frac {1}{300}}$.

Пример 4

Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5 г

Решение:

Из условия задачи следует, что параметр a нормального закона распределения неизвестен, а $\sigma =20$. Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой $\mathbf {P} (|X-a|<\delta )=2\Phi \left({\frac {\delta }{\sigma }}\right)$, где $\delta =5,\sigma =20$.

Получим: $\mathbf {P} (|X-a|<5)=2\Phi \left({\frac {5}{20}}\right)=2\Phi (0.25)=2\cdot 0.0987=0.197$.

Пример 5

Среднее время безотказной работы прибора равно $50$ часам. Полагая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность того, что в течение $100$ часов прибор не выйдет из строя.

Решение:

Параметр $\lambda$ можно найти из соотношения $\mathbf {M} X={\frac {1}{\lambda }}$.

По условию задачи $\mathbf {M} X=50$, следовательно, $\lambda =0.02$.

Пусть случайная величина $X$ — время безотказной работы прибора (среднее время между двумя отказами). Тогда искомая вероятность равна $\mathbf {P} (X\geq 100)=1-\mathbf {P} (X<100)=1-F(100)=e^{-0.02\cdot 100}=0.135$.

Упражнения

1 Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$ является плотностью распределения случайной величины

	$F(x)={\begin{cases}1,&\quad x\leq a,\\{\frac {x-a}{b-a}}&\quad x\in [a,b],\\0,&\quad x>b;\\\end{cases}}$
	$F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq a,\\{\frac {x-a}{b-a}}&\quad x\in [a,b],\\1,&\quad x>b;\\\end{cases}}$
	$F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq a,\\{\frac {x-a}{x-b}}&\quad x\in [a,b],\\1,&\quad x>b;\\\end{cases}}$

2 Чему равняется математическое ожидание для функции распределения $f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&\quad x\geq 0,\\0,&\quad x<0.\\\end{cases}}$ ?

	$\mathbf {M} X=\lambda$
	$\mathbf {M} X={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
	$\mathbf {M} X={\frac {1}{\lambda }}$

3 Каким соотношением связаны функции $\Phi (x)$ и $F_{0}(x)$?

	$F_{0}(x)=-0.5+\Phi (x)$
	$F_{0}(x)={\frac {1}{2}}\Phi (x)$
	$F_{0}(x)=0.5+\Phi (x)$