Теория вероятностей и математическая статистика/Случайные величины

Случайные величины

Случайной величиной $X(\omega )$ называют функцию, отображающую пространство элементарных событий во множество действительных чисел.

В случае бесконечного несчетного множества элементарных событий это определение нуждается в уточнении, связанном с измеримостью функции.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами $X,Y,Z,\ldots$.

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всех возможных событий, связанных со случайной величиной.

Функцией распределения случайной величины называется функция, определяемая равенством $F(x)=P(X<x)$.

Свойства функции распределения:

1. $0\leq F(x)\leq 1$;
2. $F(x)$ — неубывающая;
3. $F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$;
4. $\lim \limits _{x\to x_{0}-0}F(x)=F(x_{0})$.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка $[a,b)$, равна $P(a\leq X<b)=F(b)-F(a)$.

Далее будем рассматривать два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Упражнения

1 Каким равенством определяется функция распределения?

	$F(x)=P(X>x)$
	$F(x)=P(X<x)$
	$F(x)=P(X\leq x)$

2 Выберите верные свойства функции распределения

	$0<F(x)<1$
	$\lim \limits _{x\to x_{0}-0}F(x)=F(x_{0})$.
	$F(-\infty )=0$